Тест рубежного контроля №3

Тест содержит 4 задания, на выполнение которых отводится 5 минут. Выберите наиболее правильный, по Вашему мнению, вариант ответа и отметьте его любым значком в бланке ответов.

1. Алгоритм метода Эйлера представляет собой…

1) …явную разностную схему.

2) …неявную разностную схему.

3) …фиктивную разностную схему.

2. При решения ОДУ высших порядков методами Эйлера и Рунге-Кутты используется

1) Введение дополнительных переменных, являющихся последовательными производными искомой функции.

2) Сведение их к системам линейных алгебраических уравнений.

3) Переход к нормальной системе координат.

3. Погрешность четырехточесного метода Рунге-Кутта отличается от погрешности метода Эйлера отличается на…

1) … два порядка по величине шага интегрирования.

2) … три порядка по величине шага интегрирования.

3) … четыре порядка по величине шага интегрирования.

4. Усреднение производной в четырехточеченом методе Рунге-Кутта производится по формуле …

1) … среднего взвешенного значения с коэффициентами 1;2;2;1.

2) … среднего взвешенного значения с коэффициентами 1;3;2;4.

3) … среднего взвешенного значения с коэффициентами 1;1;1;1.

Бланк ответов

№	1	2	3
1)
2)
3)
4)

Критерий оценки

Число правильных ответов ------ 4 3 2 1 0

Оценка--------------------------------- 5 4 3 2 2

Модуль 4. Исследование периода колебаний математического маятника

Комплексная цель: Ознакомить студентов с методикой постановки вычислительных экспериментов на примере задачи о нахождении периода колебаний математического маятника с большими амплитудами.

Краткое изложение программного материала: Рассматривается задача о зависимости периода колебаний математического маятника от амплитуды этих колебаний. Указанная задача изучается с помощью вычислительных средств пакета Maple. Обсуждается нахождение по результатам вычислительных экспериментов аналитической зависимости периода колебаний маятника от амплитуды.

Содержание модуля 4

4.1. Постановка задачи

В предыдущем модуле мы рассматривали уравнение движения математического маятника, которое имеет вид

, (48)

где . Там уже отмечалось, что период его колебаний Т зависит не только от g и l (как это известно из «школьной» формулы ), но и от угловой амплитуды колебаний, которую мы обозначаем через . Говоря о больших значениях угловой амплитуды , мы имеем в виду, что она может принимать и значения близкие к , что соответствует 180 градусам в угловых единицах. Для того, чтобы можно было говорить о столь больших значениях , будем считать, что математический маятник представляет собой материальную точку не на нити, а на жёстком невесомом стержне (физически это означает, что масса груза m много больше массы стержня). Уравнения маятника (48) остаётся справедливым и в этом случае, что с очевидностью следует из метода его вывода (см. модуль 2). Итак, нам нужно исследовать период колебаний математического маятника в случае, когда угловая амплитуда может принимать любые значения на интервале

. (49)

Мы будем исходить в дальнейшем при решении дифференциального уравнения (48) из начальных условий

(50)

Выбор таких начальных условий означает вполне определённый способ возбуждения колебаний: мы отводим маятник в начальный момент времени на угол и свободно его отпускаем (то есть не придаём ему искусственно отличной от нуля начальной скорости). Значение является, очевидно, особым случаем: при отклонении на такой угол (при условии ) система находится в состоянии неустойчивого равновесия. Действительно, любое, сколь угодно малое отклонение от вышеуказанного угла приходит к выходу из этого состояния за счёт возникновения бесконечно малой возвращающей силы. В самом положении равновесия, учитываемые нами законы механики, не могут обеспечить детерминированное описание динамики системы: нельзя предсказать, в какую сторону начнётся движение маятника к своему нижнему положению равновесия – в сторону отрицательных углов или в сторону положительных углов (в последнем случае маятник «переворачивается»). Более того, уравнение движения (48) может описывать не только колебательное, но и вращательное движение маятника, что зависит не от этого уравнения, а от соответствующих начальных условий.

При численном исследовании колебаний маятника ситуация оказывается более сложной. Действительно, любой численный метод решения дифференциального уравнения является не точным, а лишь приближённым, в силу чего возникают некоторые вычислительные ошибки (вспомним, например, формулу (47) в случае применения четырёхточечного метода Рунге-Кутты).²³ При задании начальных условий маятник должен был бы через период Т описать полную окружность и прийти в своё верхнее (неустойчивое) положение равновесия. Однако, за счёт вычислительных ошибок, через точное значения периода маятник может или не дойти или, наоборот, слегка перейти точку верхнего положения равновесия. В первом случае характер его движения будет колебательным, а во втором - вращательным. Далее, при моделировании движения маятника с помощью постановки соответствующих компьютерных экспериментов, этот вопрос будет исследован более подробно.

Итак, перед нами стоит задача нахождения периода колебаний математического маятника как функции начального отклонения от нижнего положения равновесия, что сводится к следующей задаче Коши:

(51)

при условии .