1.1.2. Проблема Ферми-Пасты-Улама и открытие солитонов

С появлением больших вычислительных машин с программным управлением в середине прошлого века возникла возможность решения таких задач, о постановке которых нельзя было и мечтать в докомпьютерную эру. Примером может служить знаменитая задача Ферми-Пасты-Улама (ФПУ). Многие специалисты датируют «рождение» вычислительной физики как самостоятельной научной дисциплины именно временем проведения первых вычислительных экспериментов, направленных на решение этой проблемы (1955 г.). Она связана с именем одного из величайших физиков «всех времен и народов» - Энрико Ферми, и, фактически, сводится к попытке обоснования одного из основных положений статистической физики – равнораспределения энергии многочастичной системы в состоянии ее термодинамического равновесия по всем степеням свободы. (Вспомним известный из школьного курса физики факт, что на каждую степень свободы идеального газа приходится энергия, равная 1\2 kT). Это положение статистической физики (в общем случае речь идет о проверке эргодической гипотезы) не удается объяснить, исходя из законов классической механики, несмотря на многочисленные попытки разных ученых.

Ферми предложил исследовать явление перехода возбужденной многочастичной системы к ее равновесному состоянию на следующей простой механической модели.

Рассматривается одномерная система одинаковых грузиков, связанных одинаковыми нелинейными пружинками. Говоря о нелинейности пружинок, мы имеем в виду, что упругая сила , которая возникает при ее деформации , в отличие от известного закона Гука, не является линейной функцией деформации, а имеет вид

, (1)

что фактически является разложением нелинейной функции в ряд Тейлора. Если в этом разложении считать ненулевой только квадратичную поправку ( ) или только кубическую поправку ( ) к закону Гука , мы получим так называемую модель ФПУ- или ФПУ- , соответственно.

В гармоническом приближении, когда справедлив обычный закон Гука, динамика рассматриваемой системы N грузиков описывается линейными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами, которые получаются в результате применения второго закона Ньютона к каждому грузику(более подробно см. далее). Согласно общему математическому методу решения уравнений такого типа, в рассматриваемой механической системе можно ввести N независимых друг от друга нормальных мод (нормальных колебаний), которые являются некоторыми частными решениями соответствующей системы дифференциальных уравнений. Они представляют собой некоторые коллективные степени свободы – в колебательном режиме, соответствующем данной моде, все частицы совершают колебания с одинаковой частотой, но разными амплитудами.

Независимость нормальных мод означает, что если первоначально была возбуждена одна из них, то описываемый ею колебательный режим будет неограниченно долго продолжаться во времени – к другим модам возбуждение от нее не передается. Однако, если учесть приближенный характер закона Гука, т. е. считать упругую силу нелинейной деформации пружинок, ситуация кардинальным образом меняется, возбуждение от первоначально возбужденной в механической системе моды будет передаваться другим нормальным модам, которые теперь уже перестают быть точными решениями исходной динамической задачи. В результате можно ожидать, что с течением времени установится равнораспределение энергии ⁵ между различными модами, которые являются некоторыми новыми динамическими переменными (в отличие от старых переменных, которыми были отклонения индивидуальных грузиков из своих положений равновесия).

Действительно, общее положение статистической физики о равнораспределении энергии между различными степенями свободы должно быть справедливым и по отношению к системе нормальных мод – системе новых динамических переменных.

Первоначальная постановка задачи ФПУ сводилась к нахождению времени релаксации рассматриваемой механической системы к предполагаемому состоянию равновесия в зависимости от степени нелинейности пружинок. Более точно дело сводилось к возбуждению одной (наиболее длинноволновой нормальной моды в модели ФПУ- или ФПУ- ) и нахождению того времени, за которое энергия равнораспределяется между всеми модами исследуемой системы.

Система нелинейных дифференциальных уравнений, которая возникает при решении задачи ФПУ аналитического решения не имеет и, поскольку, здесь математика оказывается бессильной, у Ферми и возникла идея решения этой системы численными методами на только что вступившей в строй одной из первых в США больших вычислительных машин, получившей красочное имя MANIAC. Приведенное имя является аббревиатурой, составленной из начальных букв Mathematical Analyzer Numerical Integrator And Computer, а по другой версии из начальных букв фамилий творцов этого монстра ⁶. В работе над рассматриваемой проблемой, кроме самого Ферми, участвовали известный математик С. Улам (автор книги «Нерешенные математические задачи»), Дж. Паста и юная программистка Мэри Цингоу. ⁷

И вот получены результаты первых компьютерных экспериментов. Вышеуказанных исследователей ожидал сюрприз (кстати, обнаруженный совершенно случайно из-за затянувшегося обеденного перерыва!..). Кажущаяся тенденция к равнораспределению энергии между всеми степенями свободы (нормальными модами), которая наблюдалась на коротких временах, при более длительном процессе решения системы исследуемых дифференциальных уравнений места не имела. Вместо этого энергия почти периодически кочевала между несколькими первыми (наиболее длинноволновыми) модами. Модам с номерами больше 6 энергия почти не передавалась – они имели практически нулевые амплитуды.

Если интерпретировать результаты этого решения задачи ФПУ в терминах звуковых колебаний (каждой нормальной моде отвечает вполне определенная частота), то можно утверждать следующее. Поскольку ожидалось наступление равнораспределения энергии между степенями свободы, все нормальные моды должны были «звучать» практически с одинаковой интенсивностью. Иными словами, ожидалось, что с течением времени возникнет некоторая какофония звуков, точнее так называемый «белый шум». Вместо этого цепочка грузиков на пружинках исполняла вполне определенную мелодию, причем по очереди солировали лишь несколько первых мод. Любознательный читатель может даже найти даже ноты этой мелодии в книге [1]. Даже для такого гения, как Э. Ферми, этот результат явился полной неожиданностью.

Вскоре Э. Ферми ушел из жизни, и вышеописанный удивительный результат компьютерных экспериментов был полузабыт. Эти результаты были опубликованы в труднодоступном источнике (в внутреннем отчете Los Alamos National Laboratory). Впрочем, нашлись исследователи (среди них был ряд весьма известных имен), которые продолжили вычислительные эксперименты с цепочками ФПУ при самых разных условиях постановки задачи (варьировались начальные условия, характер физ. Взаимодействия между грузами, число последних). Результаты этих исследований были вполне определенными: обнаруженный Ферми, Пастой и Уламом парадокс не исчезал⁸ – рассматриваемые цепочки не стремились к установлению термодинамического равновесия вопреки фундаментальному утверждению статистической физики.

Прорыв в исследовании проблемы Ферми-Пасты-Улама произошел примерно спустя десять лет благодаря исторической работе Н. Забуски и М. Крускала [2]. Основываясь на результатах численного исследования поведения цепочек Ферми-Пасты-Улама и переходя к длинноволновому пределу (длины рассматриваемых волн считаются намного больше смещений индивидуальных частиц цепочки), вышеуказанные авторы смогли в некотором приближении свести изучаемую систему N обыкновенных дифференциальных уравнений к ставшему теперь знаменитым уравнению Кортевега-де-Фриза (сокращенно КДФ-уравнение), которое допускает существование так называемых уединенных волн.

Это нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных в обезразмеренной форме имеет очень простой вид:

, (2)

где – функция пространственной переменной и временной переменной .

С этим уравнением связанна своя очень интересная история…

Впервые уединенную волну, имеющую форму горба на поверхности воды, который распространяется без изменения своей скорости и формы, наблюдал шотландский ученый и инженер-кораблестроитель Скотт Расселл в 1834 году. ⁹

Наблюдения волны такого необычного типа столь поразило Рассела, что он всю свою оставшуюся жизнь провел, занимаясь экспериментальным исследованием уединенных волн, которые представляют собой удивительные динамические объекты. Действительно, уединенная волна устойчиво распространяется по жидкости, оставляя ее за собой в том же состоянии, в котором она находилась до прохождения волны (без появления на поверхности воды какой-либо ряби, которая могла бы привести к затуханию этой волны).

В вышеупомянутой работе Забуски и Крускала [2] уединенные волны получили название солитонов. В современной науке прижился именно этот термин, подчеркивающий, тот факт, что уединенные волны проявляют ряд свойств более характерных для частиц, сохраняющих при взаимодействии свою индивидуальность.

Несмотря на прилагаемые усилия, С. Расселу так и не удалось дать математическое описание формы уединенных волн и других их свойств. Лишь в работе голландских исследователей Кортевега и де Фриза в 1895 года была предложена некоторая математическая модель распространения длинных волн малой амплитуды на мелкой воде (рассматривается одномерное движение), которое в обезразмеренном виде сводится к уравнению (2).

Как выяснилось уже после работы Забуски и Крускала [2], это уравнение обладает многими, совершенно удивительными свойствами (например, ему соответствует бесконечно большое число законов сохранения). Кортевег и де Фриз не только вывели уравнение (2), но и сумели найти некоторое его автомодельное решение, фактически представляющее собой уединенную волну. Разумеется, будучи дифференциальным уравнением в частных производных, уравнение КДФ допускает и многие другие виды динамических режимов, в частности, колебательные.

Вышеуказанная работа Кортевега и де Фриза также не была оценена по достоинству их современниками и даже не вошла в собрание избранных трудов Кортевега. Лишь после эпохальной работы Забусски и Крускала началось бурное развитие того направления в науке, которую сейчас принято называть солитонной физикой. Солитоны представляют собой удивительные динамические объекты, которые, например, могут проходить друг через друга, сохраняя свою индивидуальность, «стряхивать» с себя преднамеренно нанесенные возмущения, демонстрировать (в двумерном и трехмерном случаях) упругое рассеяние и т.д.

В настоящее время известны разные типы солитонов, которые могут существовать в физических средах, описываемых несколькими классами нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных (так называемые полностью интегрируемые уравнения). Эти солитоны имеют различный вид (например, цунами и вихри также являются солитонами), но объединяет их в единую солитонную семью одно характерное свойство – они сохраняеют свою индивидуальность в разнообразных физических процессах. Именно это свойство и является их своеобразной визитной карточкой.

Солитоны обнаруживаются и интенсивно исследуются в самых разнообразных разделах физики (в нелинейной оптике, в физике плазмы, в физике твердого тела, в физике элементарных частиц, в биофизике (бегущие по нервным волокнам импульсы также имеют солитоноподобную форму) и т.д.). Упомянем также использование такого типа сигналов для передачи информации в оптоволоконных линиях.

1.1.3. Эвристическая роль вычислительного эксперимента

Цель вышеприведенной исторической справки состоит в том, чтобы выделить одну очень существенную для вычислительной физики идею: проведение вычислительного (компьютерного) эксперимента на основе адекватной математической модели может сыграть бесценную эвристическую роль, приводя исследователей к новым научным открытиям. Подчеркивая эту идею, мы имеем в виду, что вычислительные эксперименты могут дать не только численные результаты, например при расчете орбит космических аппаратов и конструкции новых типов самолетов, но и выявлять некоторые качественно новые (часто неожиданные) черты поведения исследуемых физических систем, наводя тем самым естествоиспытателя на новые физические и математические идеи. Открытие солитона далеко не единственный пример подобного рода исследований нелинейных динамических систем, методами вычислительной физики. Приведем в заключение еще один поучительный пример из опыта известного американского вычислителя Р.В. Хемминга (см. [3], стр. 389]).

«Когда только начали появляться вычислительные машины, была предложена задача, которую в первоначальной аналитической форме было очень трудно решить и на самых быстрых современных машинах, но оказалось, что на самом деле, эта задача о движении иона в электрическом поле в газе.

Моделирование по методу Монте-Карло с 10000 частиц дало график распределения скорости вдоль поля и перпендикулярно к нему. После того, как физик¹⁰ перестал жаловаться на низкую точность, он сказал нечто вроде: «Хм… Это похоже на эллиптическое распределение Максвелла, только слегка сдвинутое…Хм…». И это дало ему ключ к аналитическому решению задачи. Только так и были использованы численные результаты моделирования».