Литература

1. А. Т. Филиппов «Многоликий солитон» М. «Наука», изд. 2 (1990).

2. N. Zabusky, M. Kruskal. Phys. Rev. Lett. 15, 240 (1965).

3. Р. В. Хемминг «Численные методы» М. Наука (1972).

4. Г. Корн, Т. Корн «Справочник по математике для научных работников и инженеров» М. «Наука» (1978).

5. Н. Н. Калиткин «Численные методы» М. Наука (1978).

6. T. Dauxois, M. Peyrard, S. Ruffo. “The Fermi-Pasta-Ulam numerical experiment: history and pedagogical perspectives”. arXiv: nlin. PS/0501053 (2005)

7. Л.И. Седов «Методы подобия и размерности в механике» М. Наука (1977).

8. В.Говорухин, В.Цибулин. «Компьютер в математическом исследовании: Maple, MATLAB, LaTeX» Питер (2001).

9. В.Дьяконов. «Maple 7. Учебный курс» Питер (2001).

10. В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин “Справочник по нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнениям” М.: “Факториал” (1997).

11. В.П. Сахненко, Г.М. Чечин «Симметрийные правила отбора в нелинейной динамике атомных систем» ДАН. 1993. Т.330, N3, 308-310.

12. В. П. Сахненко, Г.М. Чечин «Кусты мод и нормальные колебания для нелинейных динамических систем с дискретной симметрией» ДАН. 1994. Т.338, N1, 42-45.

13. G. M. Chechin and V.P. Sakhnenko “Interactions between Normal Modes in Nonlinear Dynamical Systems with Discrete Symmetry. Exact Results”, Physica D 117, 43-76 (1998).

14. Г. Шустер Г. «Детерминированный хаос: Введение» М.: Мир (1988)

15. С.П. Кузнецов «Динамический хаос (курс лекций)» М.: Издательство Физико-математической литературы (2001).

16. А. Chenciner and R. Montgomery «A remarkable periodic solution of the three-body problem in the case of equal masses», Annals of Mathematics 152, p. 881-901 (2000)

17. Современные проблемы хаоса и нелинейности. Под редакцией К.Симо. изд-во Ижевск, 2002 – 304 стр.

18. Д. Пойа. Как решать задачу. - М.: Наука, 1961.

1 Эта часть пособия может служить лишь некоторым ориентиром для проведения занятий в руках достаточно умелого преподавателя.

2 В настоящее время, после «дисквалификации» Плутона, он считается самой далекой от Солнца планетой.

3 За год до него, аналогичные расчеты произвел Дж. Адамс, но они не были опубликованы и использованы астрономами-наблюдателями.

4 Любопытно заметить, что Г.Галилей, при наблюдении за спутниками Юпитера 28 декабря 1612 года и 28 января 1613 года обнаружил изменение относительного расстояния двух «звезд». Только в 1979 года выяснилось, что одной из этих звезд на самом деле был Нептун.

5 Заметим, что это утверждение носит приближенный характер и справедливо лишь при достаточно малых нелинейных поправках, поскольку в системе взаимодействующих частиц можно говорить только об энергии всей системы, но не об энергии ее отдельных частей.

6 Напомним, что в те времена вычислительные машины строились на вакуумных электронных лампах и были огромными по своим размерам.

7В целях определенного педагогического назидания заметим, что сам Ферми также освоил программирование на машине MANIAC во время своего летнего отпуска.

8 Заметим, что много позднее было установлено, что равнораспределение между модами все-таки может наступить при определенных условиях (например, при достаточно сильном возбуждении коротковолновых мод).

9У Скотта Рассела есть и другие научные заслуги. В частности, он независимо открыл хорошо известный теперь эффект Доплера.

10 Имеется в виду физик из группы Э. Ферми, который курировал решение этой задачи.

11 М.В.Келдыш в течение длительного времени был президентом Академии Наук СССР. Его часто называют «главным теоретиком космонавтики» (главным конструктором, как хорошо известно, был С.П. Королев).

12В настоящее время есть самолеты, скорость которых в несколько раз превышает скорость звука в воздухе.

13 Как известно, И. Ньютон был одним из основоположником математического анализа (вторым был Г. Лейбниц).

14 Взятие производной является линейным оператором.

15 Сокращение массы (m) сразу позволяет сделать вывод о том, что характер движения математического маятника, в частности, период колебаний, не зависит от его массы.

16 Разумеется, они должны быть достаточно малыми величинами для того, чтобы выполнялось условие (26), определяющее область применимости уравнения (29)

17 Это ограничение принципиальным не является, поскольку в задаче двух тел, которую мы сейчас рассматриваем, всегда можно перейти к системе координат, связанной с центром масс и получить уравнения движения для приведенной массы в неподвижном силовом центре.

18 В отличие от явных формул, широко применяются также и неявные формулы для численного решения дифференциальных уравнений. Применение их не даёт сразу готовый результат, а лишь некоторую систему нелинейных или линейных (уже не дифференциальных!) уравнений, которую необходимо решать теми или иными численными методами.

19 В нелинейном ОДУ функция f(x,y) нелинейным образом зависит от функции у(х).

20Интегральные кривые не пересекаются. В противном случае, в данной точке (х,у) можно было бы указать две разные касательные =f(x,у), что противоречит предположению об однозначности f(x,y).

21Подробное рассмотрение вопросов устойчивости различных алгоритмов решения ОДУ можно найти, например, в [5]

22Впрочем, авторы статьи [6] пишут, что «в настоящее время численное моделирование в физике конденсированного состояния достигло такого уровня доверия, что иногда возникают сомнения в результатах лабораторного эксперимента, если результаты выполненных экспериментов ему противоречат.»

23 Следует учесть, что вычислительные ошибки могут быть существенно различными для различных численных методов.

24 Переменная на языке Maple может иметь не только числовое значение, но и являться «сколь угодно сложным» объектом, например множеством, списком, последовательностью уравнений и т. д.

25 Элементы последовательности отделяются друг от друга запятыми.

26 Для этого, очевидно, придётся использовать оператор цикла (см., например, [8, 9]).

27 Более подробно смотри, например в [5].

28 Оператор fsolve осуществляет численное решение уравнения f(t)=0. В зависимости от входящих в него спецификаций этот оператор может выдавать один корень, все корни на заданном интервале или даже комплексные корни (см [8, 9]).

29 Число проводимых таким образом численных экспериментов должно быть не меньше того числа коэффициентов в формуле (67), что мы планируем найти.

30 Учтите, что координаты тела на Maple следует задавать не в виде x, y, а как функции времени x(t), y(t).

138