Тест рубежного контроля №6

Тест содержит 3 задания, на выполнение которых отводится 5 минут. Выберите наиболее правильный, по Вашему мнению, вариант ответа и отметьте его любым значком в бланке ответов.

1. Можно ли по формуле Ньютона найти силу притяжения между двумя астероидами неправильной форму при произвольном расстоянии между ними?

1) Нельзя

2) Можно, считая R –расстоянием между центрами масс

3) Можно, считая R- расстоянием между ближайшими точками астероидов

2. Как может измениться характер траектории движения тела, если бы закон всемирного притяжения имел вид , где - малая поправка?

1) Траектория превратится в эллипсис с измененным эксцентриситетом.

2) Траектория станет незамкнутой.

3) Превратиться в гипотрохоиду.

3. С какой степенью точности показателя 2 в знаменателе выполняется закон Кулона?

1)

2)

3)

Бланк ответов

№	1	2	3
1)
2)
3)

Критерий оценки

Число правильных ответов ------ 3 2 1 0

Оценка --------------------------------- 5 4 3 2

Модуль 7. Задача трех тел

Комплексная цель: Ознакомить студентов со знаменитой проблемой трех тел и возможностью проявления динамике этих тел элементов детерминированного хаоса.

Краткое изложение программного материала: Обсуждаются дифференциальные уравнения задачи трех тел и их численное решение при различных начальных условиях и различных соотношениях их масс.

Содержание модуля 7

Пр: До сих пор мы с Вами обсуждали восходящую к Кеплеру задачу двух тел. Не хотите ли Вы рассмотреть более сложные задачи небесной механики, имея в виду возможность их моделирования с помощью проведения соответствующих компьютерных экспериментов?

Ст: Насколько я понимаю, исходя из опыта решения задачи Кеплера, мы можем достаточно легко написать дифференциальные уравнения для движения любого числа тел под действием гравитационных сил и использовать для их решения возможности математического пакета Maple.

Пр: Вы совершенно правы. Наверно, логично начать с исследования проблемы трех тел.

Ст: А разве сразу нельзя рассмотреть задачу с большим числом тел. Ведь, например, в Солнечной системе у нас 8 планет, которые взаимодействуют с Солнцем и друг с другом.

Пр: Думаю, что Вы здесь не правы. Дело в том, что в Солнечной системе взаимное влияние планет друг на друга относительно невелико. И для расчета их траектории обычно используют упрощенные методы, основанные, например, на различных вариантах теории возмущений. С принципиальной же точки зрения более интересной представляется задача о движении тел в случае, когда их взаимное влияние достаточно велико. И здесь разумно начать исследование именно со случая трех взаимодействующих тел.

Ст: А не слишком ли простой будет такая задача? Я легко могу написать соответствующие ей дифференциальные уравнения, являющиеся аналогом уже использованных нами уравнений (6):

(9)

Пр: Да, Вы правильно написали эти уравнения, но вот решить их (в отличие от задачи Кеплера двух тел) аналитическими методами еще никому не удалось, несмотря на то, что над этой так называемой «проблемой трех тел» бились лучшие умы человечества. В их числе были такие гениальные математики как Ж. Лагранж, К. Якоби, А. Пуанкаре, Дж. Биркгоф и др. Несмотря на все их гигантские усилия, получить аналитическое решение в общем случае не удалось. И более того, мы сейчас понимаем, что и не удастся…

Ст: Как это не удастся? Разве можно говорить о каких-либо пределах человеческого разума? Из того, что это не было сделано до сих пор, не следует, что не удастся через сто или тысячу лет…

Пр: Не торопитесь с выводами. В процессе компьютерных экспериментов Вы сами убедитесь в причинах такого моего утверждения и откроете для себе кое-что совершенно неожиданное.

Ст: Вы меня заинтриговали. Давайте же приступим к делу.

Пр: Замечу, что несмотря на отсутствие аналитического решения задачи трех тел, был подробно исследован ряд различных частных случаев, когда такое решение можно найти (например, случаи, найденные Лагранжем). Думаю, что можно начать исследование с рассмотрения плоского движения, когда три тела с массами m₁, m₂, m₃ движутся в одной плоскости.

Ст: В этом случае мы должны решать систему дифференциальных уравнений второго порядка (9).

Пр: Эти нелинейные дифференциальные уравнения являются достаточно сложными. Можете ли Вы указать какой-либо частный случай, для которого мы можем попытаться найти аналитическое решение. Заметьте, что согласно известному приему эвристики, если исходную задачу не удается решить «с ходу», то наиболее рационально начать с рассмотрения разных ее, наиболее простых для решения, частных случаев.

Ст: Я бы начал с рассмотрения случая, когда все три массы одинаковы: m₁=m₂=m₃=m. Их, видимо, целесообразно в начальный момент времени расположить в углах равностороннего треугольника.

Пр: Продолжайте-продолжайте…

Ст: Давайте придадим им также одинаковые по величине начальные скорости, чтобы образованный этими массами равносторонний треугольник вращался вокруг своего центра как единой целое.

Пр: Хорошо, давайте изобразим эти начальные условия на соответствующем рисунке:

Рис. 5

Ст: Скорости должны быть направлены по касательным к окружности, описанной вокруг нашего треугольника.

Рис. 6

Похоже, что такую задачу можно решить с помощью обычных школьных методов, не прибегая к дифференциальным уравнениям… На тело номер 1, действуют две равные по величине силы, направленные вдоль сторон треугольника. Их равнодействующая направлена к центру треугольника и по величине, очевидно, равна

(10)

Насколько я понимаю, при любой величине сторон треугольника R можно найти такую начальную скорость V₀, при которой рассматриваемое нами первое тело (а стало быть, в силу симметрии, и два других тела), движется по окружности.

Пр: И как Вы будете находить эту начальную скорость V₀ ?

Ст: Исходя из второго закона Ньютона, для случая движения тела по окружности можно записать

(11)

Здесь - центростремительное ускорение.

Отсюда легко получить:

(12)

Пр: Отлично! Решенная Вами сейчас школьная задача может послужить тестовым примером для проверки правильности той Maple-программы, которую Вы будете писать для решения системы дифференциальных уравнений (9). Давайте также выпишем в явной форме и соответствующие начальные условия.

Ст: Исходя из рисунка 6 для первого тела можно написать:

Аналогично, начальные условия для второго и третьего тела записываются в виде:

(13)

Пр: Постарайтесь дома написать соответствующую Maple-программу для решения дифференциальных уравнений (9) с начальными условиями (13) и убедитесь в том, что с достаточной степенью точности все три тела действительно движутся по окружности радиуса . Обязательно оцените эту точность на нескольких оборотах нашего треугольника.

…..

Пр: Интересно, что же у Вас получилось в результате компьютерного моделирования при рассмотрения нашего частного случая задачи трех тел?

Ст: Я проверил, что все три тела действительно движутся по окружности радиуса a.

Пр: Поскольку тестовая задача у Вас дома получилась, можно попытаться каким-либо образом варьировать начальные условия (не забудьте, что при одних и тех же уравнениях движения можно получить самые разнообразные траектории за счет различного выбора начальных условий). Какие у Вас есть на сей счет предложения?

Ст: Мне хотелось бы сохранить исходную конструкцию трех тел в виде правильного треугольника и несколько изменить (увеличить и уменьшить) начальные скорости (V₀), по-прежнему считая их одинаковыми по величине для всех трех тел.

Пр: Как Вам кажется, что будет, если в качестве начальной скорости выбрать величину ?

Ст: Возможно наши тела разлетятся…

Пр: Стало быть Вы считаете, что тела уйдут на бесконечность даже при сколь угодно малом отклонении от V₀?! Давайте проверим эту гипотезу непосредственно на компьютере.

Ст: (Изменяет начальные условия и с изумлением смотрит на экран). О, каждое из тел движется по своей траектории, но если мысленно соединить эти тела отрезками прямых по-прежнему образуется правильный треугольник, который вращается вокруг своего центра, изменяя при этом свои размеры… Я ясно вижу, что линейные размеры треугольника осциллируют во времени…

Пр: А как Вы думаете, какова амплитуда этих осцилляций? Точнее, каким будет максимальное и минимальное значения ребра треугольника в процессе его колебаний и вращения? И кстати, совпадает ли период колебаний с периодом вращения?

Ст: Я думаю, что наш треугольник осциллирует вокруг того равновесного состояния, которое он имел в начальный момент времени. А периоды вращения и колебания, судя по изображению на экране компьютера, являются одинаковыми…

Пр: С последним Вашим заключением я могу полностью согласиться, однако, дома Вам необходимо обязательно проверить это утверждение не только качественно, но и количественно. А вот что касается Вашего первого утверждения о том, что размеры треугольника осциллируют вокруг исходной конфигурации тел (т.е. ребро треугольника R становится то больше, то меньше начального своего значения R₀), то здесь Вы ошибаетесь.

…..

Ст: (После серии вычислительных экспериментов). Оказывается, ребро треугольника R то удаляется от значения R₀, то приближается к нему, но не становится меньше этой величины!

Пр: Это действительно правильно. А не могли бы Вы объяснить такое поведение размера нашего треугольника?

Ст: Я кажется начинаю понимать... Из рисунка 6 видно, что на тело номер 1 действует лишь одна сила (которая является равнодействующей сил F₁ и F₂). Здесь x – расстояние до центра треугольника, которое я могу выразить через его ребро R:

Подставляя это значение в формулу для силы F, получим:

(14)

Таким образом, мы видим, что тело номер один движется в неподвижном силовом центре, который совпадает с центром треугольника, под действием силы (14). Выражение этой силы отличается от обычной формулы Ньютона (7) лишь дополнительным множителем . Иными словами, мы будем рассматривать движение тела в силовом центре при несколько другой величине гравитационной постоянной .

Отсюда следует, что при достаточной малом отклонении начальной скорости от того значения , при котором тело вращалось по окружности, оно будет двигаться по некоторому эллипсу. Эксцентриситет этого эллипса увеличивается с ростом . Отсюда же ясно, что при достаточно большом значении траектория движения первого тела (а значит, и траектории двух других тел) может стать незамкнутой, т.е. превратится в параболу или гиперболу. С другой стороны, если соответствует эллиптической траектории, то ясно, что минимальное (максимальное) значение ребра треугольника определяется расстоянием от силового центра (совпадающим с одним из фокусов эллипса) до перегелия (афелия). Таким образом, в случае нашу задачу можно решить полностью аналитически… И наверно, то же самое можно сделать и в случае – просто при этом эллиптическая орбита планеты будет по-другому ориентирована в пространстве.

Пр: Мы с Вами пришли к очень существенному выводу: за счет нелинейности рассматриваемой задачи между вращательной и колебательной степенями свободы возникает некоторая связь, которая заведомо отсутствует в известной Вам из курса механики теории малых колебаний.

Ст: Я не очень понимаю, что Вы имеете в виду, и почему этот вывод является столь важным…

Пр: Мы не можем сейчас сколько-нибудь подробно рассматривать эту область теории. Я хочу только сделать несколько кратких замечаний.

В теории малых колебаний рассматривается так называемое гармоническое приближение – потенциальная энергия раскладывается в ряд Тейлора вблизи равновесной конфигурации системы, причем, отбрасываются все члены, степень которых превышает 2. При этом динамические уравнения становятся линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. В таком приближении можно ввести понятие о нормальных модах, которые являются независимыми друг от друга.

Ст: Я что-то смутно начинаю припоминать…

Пр: В нашем случае среди нормальных мод есть, по крайней мере, так называемая «дыхательная» мода, описывающая колебательный режим, при котором наш треугольник сохранит свойство равносторонности («дышит», то уменьшаясь, то увеличивается в размерах). Среди других нормальных мод есть такая, которая определяет вращение треугольника вокруг своего центра (вращательная мода), как некоторой жесткой конфигурации. При этом обе вышеупомянутые моды являются независимыми друг от друга. Если же выйти за рамки гармонического приближения и рассмотреть модель, описываемую уравнениями (9), то две эти моды (дыхательная и вращательная) окажутся уже связанными друг с другом. Именно это Вы только что и увидели на экране компьютера. В теории колебаний молекул такая связь является весьма существенной.

Не могу не заметить, что именно исследование модели (9) в свое время привело к возникновению понятия о «бушах (кустах) мод» для динамических систем с дискретной симметрией, которые были введены и исследованы в работах [11, 12, 13]. Но давайте вернемся к нашей задаче трех тел.

Ст: Может быть, теперь рассмотрим случай, когда массы тел различны?

Пр: Хорошая идея. Ее реализация уже не представит принципиальной трудности, поскольку Вы можете просто воспользоваться написанной ранее компьютерной программой.

Ст: Рассмотрим, например, случай когда m₁=5m, m₂=2.5m, m₃=0.5m, выберем некоторые начальные условия, и посмотрим, какой вид имеют траектории движения наших тел…

Пр: Ну-ну, попробуйте…

Ст: (делает несколько экспериментов и удивленно смотрит на экран…) Неужели такое может быть?! Движение наших тел кажется совсем беспорядочным, хаотичным…

Пр: Представьте себе, что да, может быть и такой неожиданный результат! Мы здесь сталкиваемся с явлением, которое называется детерминированным хаосом. Впервые оно было открыто в 1963 году американским метеорологом Эдвардом Лоренцом. В последующем это открытие привело к кардинальному изменению наших представлений о динамических процессах…

Ст: Я не очень понимаю, что означает термин «детерминированный хаос», ведь детерминированное движение и хаотическое движение кажутся совершенно противоположными понятиями. Как они могут сочетаться в одном термине?

Пр: Обязательно поищите ответ на свой вопрос в Интернете и соответствующей литературе (см., например, [14, 15]). Вкратце суть этого явления заключается в следующем. При некоторых параметрах задачи и некоторых начальных условиях (причем, это не экзотика, которая встречается очень редко – ведь Вы обнаружили это явление, выбирая массы планет, их начальные положения и скорости достаточно случайным образом) траектории движения становятся очень чувствительными к малейшим отклонениям в начальных данных и стремятся разбежаться друг от друга. В результате, совершенно незначительные возмущения (даже те, которые возникают в результате численного решения дифференциальных уравнений) на достаточно больших временах могут привести к кардинальному изменению характера движения. Поскольку в природе всегда существуют самые разнообразные маленькие возмущения, то такое явление имеет прямой физический смысл. Термин «детерминированный хаос» подчеркивает тот факт, что динамические уравнения (в нашем случае, это система дифференциальных уравнений (9)) являются вполне детерминированными, но предсказать поведение системы на больших временах даже при сколь угодно малых возмущениях становится принципиально невозможным, и нам кажется, что поведение тел хаотично. В настоящее время теория детерминированного хаоса считается одним из наиболее существенных достижений естествознания XX века. Обязательно найдите соответствующую информацию в Интернете и литературе.

Рис. 7.

Проектное задание. С помощью численных методов решения дифференциальных уравнений пронаблюдать движение трёх одинаковых тел, взаимодействующих по закону всемирного тяготения Ньютона, которые расположены в вершинах правильного треугольника и имеют одинаковые по величине скорости, направленные вдоль соответсвующих касательных к описанной вокруг этого треугольника окружности.