Модуль 5. Законы Кеплера

Комплексная цель: Основной целью данного модуля является углубление знаний студентов законов Кеплера и, в частности, понимание того, в Солнечной системе они носят лишь приближенный характер.

Краткое изложение программного материала: Обсуждается вывод законов Кеплера, исходя из дифференциальных уравнений задачи двух тел, на основе проведения серии вычислительных экспериментов.

Содержание модуля 5

Этот модуль является вводным и предназначен для того, чтобы в сознании студента возникла связь известных ему идей и фактов с теми новыми идеями и фактами из области нелинейной динамики, к которым он должен самостоятельно придти в процессе выполнения серии индивидуальных заданий. Реализация этого этапа, например, может выглядеть следующим образом:

Пр: Какие законы Кеплера Вы знаете?

Ст: Я знаю, что существует три закона Кеплера, но точно сформулировать могу лишь один из них. Он утверждает, что каждая планета Солнечной системы движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Пр: А что такое эллипс?

Ст: Это геометрическое место точек плоскости, которые обладают тем свойством, что сумма расстояний от каждой из них до двух выделенных точек, называемых фокусами, есть постоянная величина.

Пр: Совершенно верно. Как Вы сказали, в одном из фокусов такого эллипса находится Солнце, а что находится во втором фокусе?

Ст: … Ничего…

Пр: А чем отличаются друг от друга эллипсы, которые описывают траектории различных планет Солнечной системы?

Ст: Размерами и ориентацией своих осей.

Пр: Хорошо. Ко второму и третьему закону Кеплера мы вернемся позднее. А как Вы думаете, каким образом Кеплер пришел к открытию своих законов?

Ст: Этого я не знаю… Кажется, он открыл их на основе анализа большого объема астрономических наблюдений.

Пр: Совершенно верно. Давайте зафиксируем последнее ваше утверждение. Оно нам вскоре пригодится… Обязательно постарайтесь найти в Интернете историю открытия Кеплером своих законов. Это очень поучительная история.

Подведем итоги. Из всего того, что Вы только что рассказали, ясно, что законы Кеплера явились следствием астрономических наблюдений за движением планет Солнечной системы, и, следовательно, их нельзя считать абсолютно точными. В свою очередь, это значит, что утверждение о том, что данная планета движется по некоторому эллипсу, заведомо не может быть правильным. Вы согласны с этим?

Ст: Но ведь во всех учебниках говорится о движении планет по эллипсам, а из Ваших слов получается, что это неправда?!

Пр: А вы не забыли, что на каждую планету кроме Солнца действуют гравитационные силы и со стороны всех остальных планет Солнечной системы? Разве их действие не влияет на форму орбиты рассматриваемой нами планеты?

Ст: Но, наверно, влияние других планет достаточно мало и оно лишь слабо искажает орбиту данной планеты?

Пр: В принципе, Вы правы. Тогда мы с Вами приходим к выводу о том, что законы Кеплера выполняются в Солнечной системе лишь приближенно. Давайте проверим выполнение первого закона Кеплера, используя прямой компьютерный эксперимент, считая, что на каждую планету действует только Солнце. На следующем этапе исследований, можно будет уже учесть влияние нескольких больших планет, например, Юпитера и Сатурна.

Ст: А как можно на компьютере промоделировать движение планеты в поле притяжения Солнца?

Пр: Поскольку мы знаем, что планета должна двигаться вокруг Солнца по эллипсу, а последний является плоской фигурой, давайте рассмотрим движение этой планеты в плоскости (x, y) под действием только силы притяжения к Солнцу. Поскольку масса последнего (М) во много раз больше массы планеты (m), мы можем считать, что Солнце неподвижно и находится в начале системы координат.

Рис. 1

Какие законы физики мы можем использовать для того, чтобы найти зависимость координат x(t) и y(t) от времени (t) и, таким образом, построить траекторию движения планеты?

Ст: По-видимому, мы можем использовать второй закон Ньютона и его же закон всемирного тяготения .

Пр: Совершенно правильно. Я думаю, Вы понимаете, что при описании криволинейного движения планеты вдоль своей орбиты удобно рассматривать проекции этого движения на оси x и y в декартовой системе координат.

Ст: Да, конечно, я так и думал! Тогда уравнения движения вдоль этих осей можно записать в форме

(1)

где и – есть соответствующие ускорения, а F_x и F_y – проекции силы притяжения к Солнцу на оси x и y, соответственно.

Пр: А как найти эти проекции?

Ст: Из рисунка 1 ясно, что

(2)

Пр: Совершенно правильно. Вы даже не забыли учесть факт отрицательности проекции силы на оси x, y (студенты часто забывают об этом, в результате чего “открывают” антигравитацию…).

Ст: Подождите, подождите. А что будет, если планета находится не в первом квадранте, как это изображено на рисунке 1, а в другом? Ведь от этого могут зависеть знаки проекций на соответствующие оси.

Пр: Но не забывайте, что при этом изменяются и знаки координат планеты (x, y). Давайте сначала запишем правильные уравнения движения, предполагая, что планета находится в первом квадранте в соответствии с рисунком 1. Если Вы получите для этого частного положения планеты правильные уравнения, то они автоматически будут правильными и для всех других положений!

Ст: Хорошо, из уравнений (1), (2) получим:

(3)

Но что делать дальше?

Пр: При движении планеты по орбите, очевидно, изменяется и ее расстояние до Солнца (R), и угол (φ), то есть R=R(t) и φ=φ(t). Разве эти переменные независимы друг от друга?

Ст: Я понял! Между этими переменными и координатами планеты x(t) и y(t) существуют тривиальные геометрические связи:

(4)

.

Формулы (4) с очевидностью следуют из рисунка 1 при учете того, что сила притяжения направлена по прямой, соединяющей планету и Солнце. Тогда уравнения (3) можно переписать следующим образом:

(5)

Я здесь сократил каждое из этих уравнений на массу планеты (m).

Пр: А знаете ли Вы, что факт такого сокращения, вообще говоря, тривиальным не является?

Ст: А почему это не тривиально?

Пр: Мы не можем сейчас обсуждать эту проблему сколько-нибудь подробно, но я советую Вам найти в физической энциклопедии или в Интернете информацию о том, что масса, входящая во второй закон Ньютона ( ) и масса, входящая в закон всемирного тяготения ( ) имеют разный физический смысл! Первая из них называется инертной массой, а вторая – гравитационной, и они характеризуют существенно разные свойства тела. Во втором законе Ньютона масса m характеризует способность тела приобретать ускорение под действием внешней силы, а в законе всемирного тяготения масса m характеризует способность тела притягивать другие тела и притягиваться к ним. Равенство инертной и гравитационной масс тел подвергалось тщательной экспериментальной проверке и лежит в основе общей теории относительности Эйнштейна. Мы с Вами не будем углубляться в эту область, но я еще раз настойчиво рекомендую Вам познакомиться более подробно с этой проблемой по литературным источникам.

Итак, мы получили уравнения (5), которые описывают движение планеты вокруг Солнца. Вы, наверно, понимаете, что их лучше переписать в форме:

(6)

Что Вы можете сказать по поводу типа этих уравнений?

Ст: Уравнения (6) представляют собой систему двух связанных дифференциальных уравнений второго порядка. Но я совершенно не представляю как их решать...

Пр: Да, с такими уравнениями Вам, скорее всего, действительно не приходилось встречаться. Это некоторые нелинейные уравнения, а общих методов решения нелинейных дифференциальных уравнений не существует. Кстати, когда Вам будут в дальнейшем встречаться нелинейные дифференциальные уравнения, я очень советую прежде всего поискать их решение (если такое человечеству известно!) в справочниках. Замечу, что наиболее полным таким справочником является книга [10].

Ст: А если мы там не найдем готового аналитического решения наших уравнений?

Пр: Тогда можно прибегнуть к численным методам решения дифференциальных уравнений. Существует целый ряд таких методов, причем, многие из них являются универсальными, т.е. их можно применять практически к любым дифференциальным уравнениям и их системам. Этим свойством численные методы существенно отличаются от аналитических, которые ориентированы на отдельные и часто весьма узкие классы дифференциальных уравнений. Разумеется, численные методы должны быть реализованы в виде компьютерных программ, поскольку их практическое применение обычно требует огромного объема вычислительной работы.

Ст: Это значит, что мне самому придется писать компьютерную программу реализации какого-либо численного метода для решения дифференциального уравнения?

Пр: К счастью, в настоящее время существуют мощные математические пакеты, такие как Maple, MatLab, Mathematica, которые предлагают пользователю целый набор численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Вам, наверное, наиболее просто будет воспользоваться пакетом Maple, имеющим, кстати сказать, очень хорошую систему помощи (Help), в которой Вы сможете найти много конкретных примеров. Советую Вам ознакомиться с пакетом Maple по книгам [8, 9].

Ст: А в каком виде мы можем получить решение, используя пакет Maple?

Пр: Для некоторых простейших типов обыкновенных дифференциальных уравнений Maple может найти соответствующее общее аналитическое решение. В тех же случаях, когда это невозможно, Вы вправе прибегнуть к численным методам, в результате чего может быть получено частное решение рассматриваемых уравнений в форме соответствующих графиков или таблиц. Кстати, а что такое общее и частное решения дифференциальных уравнений?

Ст: Я знаю, что общее решение обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка зависит от n произвольных постоянных, а частное решение получается из него в результате присвоения этим произвольным постоянным конкретных числовых значений. Но я не понимаю, как это все связанно с нашей задачей о построении орбиты, по которой планета движется вокруг Солнца…

Пр: Общее решение системы (6) должно определять все возможные типы движения тела массой m в поле притяжения к Солнцу. Разве эллипс является единственно возможной траекторией движения рассматриваемого тела?

Ст: Нет, например, тело может падать на Солнце по прямой, а кометы, насколько я знаю, могут двигаться по параболическим и гиперболическим траекториям.

Пр: Вы совершенно правы. Теория утверждает, что в самом общем случае траектория движения тела в поле притяжения к Солнцу является одним из конических сечений – это может быть: окружность, эллипс, парабола, гипербола или прямая. Эти траектории называются коническим сечениями в силу того, что их можно получить, пересекая конус плоскостями различным образом расположенными относительно него. Подумайте самостоятельно над этими словами и поищите соответствующую информацию в Интернете.

Таким образом, уравнения одни и те же, а форма траектории может быть совершенно разной. Как Вы думаете, чем определяется форма той или иной траектории движения при одних и тех же уравнениях, которые описывают движение рассматриваемого тела?

Ст: Наверное, данная траектория выделяется некоторыми дополнительными условиями, которые определяют, где находилось тело в определенный момент времени и какую оно имело при этом скорость.

Пр: Вы совершенно правы. Для выделения конкретной траектории необходимо задать кроме системы дифференциальных уравнений (6) некоторые начальные условия. Как Вы думаете, сколько таких дополнительных условий необходимо задать для однозначного определения траектории?

Ст: Наверное, необходимо задать четыре условия: начальные координаты x(0) и y(0) и начальные скорости , .

Пр: Вы правы. Число этих дополнительных условий должно быть равно числу произвольных постоянных, от которого зависит общее решение нашей системы обыкновенных дифференциальных уравнений, а в нашем случае их четыре (поскольку мы имеем два дифференциальных уравнения второго порядка). В зависимости от конкретных значений начальных координат и скоростей можно получить самые различные виды траекторий движения тела.

Обратите внимание на то, что на языке пакета Maple в операторе dsolve³⁰, который позволяет получить численное решение при задании спецификации numeric, набор уравнений и соответствующих им начальных условий задается в виде множества, причем эти объекты могут быть перечислены в любом порядке. Напишите дома программу на языке пакета Maple для проверки первого закона Кеплера.

Ст: А как можно выбрать те начальные условия, которые порождают эллипс, а не какие-либо другие траектории движения, например, незамкнутые?

Пр: Я рекомендую Вам прежде всего рассмотреть движение тела вокруг Солнца по окружности. Эта задача будет неплохим тестовым примером для проверки написанной Вами Maple-программы. Можете ли Вы указать необходимые для этого начальные условия?

Ст: Пожалуй, да. Ведь такого рода задачи мы решали даже в школе. Рассматриваемый случай равномерного движения тела по окружности сводится к решению уравнения

,

где слева стоит сила притяжения тела к Солнцу, а справа – произведение его массы на центростремительное ускорение ( ). Отсюда можно найти ту скорость, которую нужно сообщить телу в начальный момент времени, если оно находится при этом на расстоянии R₀ от Солнца, для того, чтобы тело двигалось по окружности, а не по какой-либо другой траектории:

. (*)

Насколько я понимаю, это значит, что для получения круговой траектории движения тела при решении уравнений (6) можно задать следующие начальные условия:

Пр: Совершенно верно. А как Вы докажете, что в результате решения нашей задачи действительно получается окружность?

Ст: Для этого достаточно с помощью средств пакета Maple построить соответствующий график.

Пр: При этом Вы лишь убедитесь в том, что полученная Вами траектория, действительно похожа на окружность. Но как доказать более строго, что она таковой является?

Ст: … Можно, например, построить с некоторым шагом по времени таблицу значений функции Если при этом расстояние до Солнца R(t) остается при движении тела неизменным с достаточно высокой степенью точности, ясно, что траектория тела является окружностью.

Пр: Все правильно. Более того, по отклонению R(t) от R₀ (которое определяет расстояние от планеты до Солнца), можно судить о точности применяемого Вами численного метода решения дифференциальных уравнений. Не забудьте провести соответствующую оценку точности на достаточно большом интервале времени (таком, чтобы тело успело совершить, по крайней мере, несколько оборотов вокруг Солнца).

Ст: Насколько я теперь понимаю, если задать начальную скорость больше, чем найденная нами величина V₀ из формулы (8), то тело будет двигаться уже по эллипсу, вытянутому вдоль оси x…

Пр: Постарайтесь проверить Вашу гипотезу на компьютере дома. И, более того, увеличивайте начальную скорость до тех пор, пока траектория не станет незамкнутой.

Но у меня есть к Вам и более серьёзный вопрос. А как Вы убедитесь в том, что замкнутая траектория, которая получается в результате Вашего компьютерного моделирования, действительно является эллипсом. Ведь нам необходимо проверить законы Кеплера достаточно точно!

Ст: Я думаю, что можно найти самое близкое и самое дальнее расстояния от тела до Солнца, т. е. точки A и B (см. рис. 2), соответствующие перигелию и афелию рассматриваемой орбиты. Иными словами, нужно найти минимальное и максимальное значения функции Это позволит нам определить большую полуось эллипса, а стало быть, и его фокусы F₁, F₂. После этого, можно проверить, удовлетворяет ли наша траектория определению эллипса, т.е. является ли при движении тела сумма расстояний от точек эллипса до его фокусов постоянной величиной (СF₁+ СF₂ на рисунке 2).

Рис. 2

Пр: Вы совершенно правы, и я жду от Вас на следующем занятии результаты соответствующих вычислительных экспериментов. Но не забывайте, что у Кеплера есть не только вышеобсужденный нами первый закон, но и два других. Как проверить их? Давайте сначала поговорим о втором законе Кеплера? Что утверждает этот закон?

Ст: Мне кажется, что в нем говорится о скорости движения тела по эллиптической орбите.

Пр: Как Вы думаете, является ли равномерным движение тела по этой орбите?

Ст: При движении по окружности тело двигалось равномерно, то есть с постоянной линейной, а стало быть, и угловой скоростью. А вот при движении тела по эллиптической орбите, по-моему, скорость должна изменяться. Я думаю, что, чем ближе тело к Солнцу, тем скорость планеты должна быть больше...

Пр: Давайте устроим маленький перерыв, во время которого я прошу Вас пойти в библиотеку и найти какие-нибудь книги, где дается точная формулировка второго и третьего закона Кеплера.

…..

Пр: Давайте дадим теперь точную формулировку второго закона Кеплера.

Ст: Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные времена радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, заметает сектора равной площади.

Пр: Да, именно так Кеплер сформулировал свой второй закон. А не знаете ли Вы, как объяснить смысл этого закона в рамках современных представлений?

Ст: Пожалуй, знаю. Он является следствием закона сохранения момента импульса, то есть этот закон сводится к утверждению, что при движении планеты вдоль эллиптической траектории сохраняется векторная величина . Поскольку движение тела является плоским, нам достаточно проверить, что сохраняется проекция этого вектора на ось z, перпендикулярную плоскости (x, y). Таким образом, при движении планеты должна сохраняться величина , что, наверно, легко проверить в ходе вычислительного эксперимента.

Пр: Вы правы. Учтите, что при решении дифференциального уравнения второго порядка в пакете Maple можно легко находить не только x(t) и y(t), но и их производные по времени… А можете ли вы проверить третий закон Кеплера?

Ст: Этот закон утверждает, что квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет. Думаю, что после всего вышесказанного, я действительно смогу его проверить. По крайней мере, с помощью нескольких вычислительных экспериментов, проведенных при разных начальных условиях. Мы будем задавать в любом эксперименте различные расстояния от тела до Солнца, моделируя тем самым движения планет более или менее далеких от него.

Пр: А теперь давайте вернемся к обсуждению вопроса о том, что законы Кеплера, получены из наблюдений за движениями реальных планет солнечной системы. В силу этого, как мы уже говорили, законы Кеплера являются лишь некоторыми приближенными законами (на данную планету действует не только сила притяжения со стороны Солнца, но и со стороны других планет).

Ст: Да, конечно.

Пр: А можете ли Вы проиллюстрировать это с помощью конкретных вычислительных экспериментов?

Ст: Я бы рассмотрел движение некоторой легкой планеты (например, Марса) под действием не только силы притяжения к Солнцу, но и хотя бы к одной из массивных планет (например, к Юпитеру). Тогда, наверно, можно считать, что действие Юпитера на легкую планету сказывается на ее траектории достаточно сильно, в то время как обратное влияние (легкой планеты на тяжелую) должно лишь незначительно искажать траекторию последней.

Пр: Вы совершенно правы. Более того, для Вас, видимо, будет наиболее удобным считать, что Юпитер движется по некоторой круговой траектории, которая практически не изменяется за счет его взаимодействия с Марсом (см. рисунок 3).

Ст: Наверно, я могу найти в астрономических справочниках реальные массы Юпитера и Марса, а радиус движения Юпитера по окружности считать равным среднему расстоянию его до Солнца.

Рис. 3

Задавая соответствующие начальные условия, можно сравнить траекторию движения Марса без учета влияния на него Юпитера и с учетом этого влияния. Но ведь это очень большая вычислительная работа…

Пр: Да, конечно. Но зато она себя полностью окупит, поскольку в результате ее выполнения Вы будете намного лучше понимать сами законы Кеплера, и, что для нас наиболее важно, осознаете тот факт, что в Солнечной системе законы Кеплера носят лишь приближенный характер.

Проектное задание. С помощью численных методов решения дифференциальных уравнений построить траеторию движения планеты, считая, что Солнце неподвижно и находится в начале системы координат. Проверить выполнение первого и второго законов Кеплера.