4.4. Нахождение аналитической зависимости

В результате выполнения предыдущего задания мы получили табличное представление функций и . При малых амплитудах период колебаний стремится к величине =6.2831…, а при он стремится к бесконечности. В силу последнего обстоятельства более удобным для дальнейшего анализа является не функция , а функция , которая в двух вышеуказанных предельных случаях стремится к единице и нулю, соответственно. Её график приближённо имеет вид, изображённый ниже не рисунке.

Представляет интерес попытка нахождения какого-либо аналитического выражения для этой функции (и, тем самым, для периода колебаний маятника). Рассмотрим несколько вариантов нахождения приближённого аналитического вида функции .

А. Применение теории размерностей.

Как известно, определённую информацию об аналитической зависимости между величинами, описывающими рассматриваемое аналитическое явление, можно получить с помощью теории размерностей. Рассмотрим этот вопрос на примере задачи о периоде колебаний Т математического маятника. Будем искать формулу для Т в виде монома от тех физических переменных, которые могли бы, в принципе, в неё входить:

(61)

Здесь – произвольный безразмерный множитель, m – масса маятника, l – его длина, g – ускорение свободного падения, а х, у и z – некоторые неизвестные показатели соответствующих степеней.

Очевидно, что размерности левой и правой частей формулы (61) должны быть одинаковыми. Будем обозначать размерность физических велиxин, как это принято, квадратными скобками. Тогда, из формулы (61) имеем

(62)

Основными единицами измерений в механике являются килограмм (кг), метр (м) и секунда (с). Размерности всех других физических величин могут быть выражены через них. В частности, [g]=мс^-2. Поскольку, [T]=c, [m]=кг, [l]=м, из формулы (62) имеем:

(63)

или

. (64)

Приравнивая показатели при независимых единицах измерений в левой и правой частях уравнения (64), получим: x=0, y+z=0, -2z=1. Отсюда находим: x=0, y=1/2, z=-1/2.

Таким образом, все показатели в формуле (61) определяются единственным образом (что, впрочем, бывает весьма редко!) и, следовательно

. (65)

Для случая малых колебаний неизвестную нам пока безразмерную величину гамма, можно найти в результате проведения единственного вычислительного эксперимента. Например, задавая , из решения исследуемой задачи Коши (34), мы получим . Разумеется, эта величина есть ни что иное, как приближённое значение числа . В результате (по крайней мере, с точностью до некоторой вычислительной ошибки в определении константы ) мы имеем

. (66)

Однако, ранее уже обсуждалось, что период колебаний математического маятника должен зависеть от амплитуды колебаний (начального угла отклонения ). Поскольку является безразмерной величиной (напомним, что угол в радианах есть отношение длины соответствующей ему дуги к радиусу, которым она описана), ясно, что в общем случае, для константы гамма из формулы (61) имеем .

Является ли эта функция совершенно произвольной? Во-первых, из общих физических соображений ясно, что период колебаний маятника не должен зависеть от знака . Действительно, достаточно очевидно, что при начальном отклонении на угол влево или вправо, возникающие колебания должны происходить с одним и тем же периодом. Из этого замечания следует, что гамма ( ) должна быть чётной функцией своего аргумента .

Далее, поскольку можно говорить о периоде малых колебаний (т. е. колебаний с сколь угодно близких к нулю), ясно, что функция не обладает какой-либо особенностью в точке =0 в силу чего можно разложить в ряд Тейлора в окрестности этой точки:

. (67)

В формуле (67) мы учли тот факт, что функция является чётной (и, стало быть, в ряд Тейлора входят только чётные степени её аргумента), а также то, что в пределе она должна принимать значение .

Коэффициенты разложения являются неизвестными, которые подлежат определению с помощью проведения соответствующих вычислительных экспериментов. Очевидно, что для того, чтобы определить k неизвестных коэффициентов формуле (67), необходимо провести как минимум k таких экспериментов, отклоняя в каждом из них маятник на разные углы . При этом выбираемые произвольные углы (i=1,2,…k) не должны быть слишком большими, ибо можно надеяться только на то, что формула (67) обеспечивает приемлемую точность лишь для достаточно малых .

Если провести k вычислительных экспериментов, то можно найти k коэффициентов в формуле (67), поскольку мы получим k линейных алгебраических уравнений вида

, (68)

где i=1,2…k. Здесь есть угол начального отклонения подвеса маятника от вертикального положения при проведении вычислительного эксперимента с номером i.

Полученную систему k уравнений с к неизвестными можно всегда решить и найти таким образом формулу (67) в явном виде.

Тем не менее, более разумно поступить несколько иначе. Поскольку каждый вычислительный эксперимент (как и реальный физический) даёт некоторую погрешность, лучше использовать для нахождения неизвестных коэффициентов метод наименьших квадратов, который обычно используется в таких случаях для анализа результатов реальных физических экспериментов. С его сутью можно познакомиться по стандартным учебникам численного анализа [5]. Сейчас же для нас достаточно будет использовать готовую процедуру, имеющуюся в пакете Maple для реализации метода наименьших квадратов.

Заметим, что в Maple имеются даже две разные такие процедуры и что входные данные для них задаются по-разному.

Воспользуемся процедурой leastsquare, реализующей метод наименьших квадратов из библиотеки stats (см. описание этой процедуры в системе помощи Help). она находится в подразделе этой библиотеки, который имеет название fit (в этом разделе имеются и другие процедуры, используемые для аппроксимации экспериментальных данных).

Пусть имеются два списка хх и уу, котрые содержат аргументы х_i (i=1,2…N) и соответствующие им значения функции y_i=y(х_i) (i=1,2…N), которые были найдены в результате проведения некоторого физического эксперимента. Допустим, что мы хотим найти по этим данным квадратичную функцию y=ax²+bx+c, то есть вычислить коэффициенты a,b,c, при которых эта функция у(х) наилучшим образом (в смысле метода наименьших квадратов!) удовлетворяет вышеуказанному набору экспериментальных данных. В этом случае, можно следующим образом обратиться к процедуре Maple, позволяющей найти требуемую квадратичную функцию.

> with(stats);

> f :=fit(leastsquare[[x,y],y=a*x^2+b*x+c]]([xx,yy]);

В результате выполнения системой Maple такой процедуры, мы получим в готовом виде функцию y=ax^2+bx+c с конкретными числовыми значениями входящих в него коэффициентов (a,b,c).

Задание. Найти зависимость частоты колебаний математического маятника от угла начального отклонения , решая задачу Коши (34) достаточное число раз²⁹ и обращаясь после этого к вышеописанной процедуре метода наименьших квадратов.

Замечание. У рассматриваемой нами задачи существует точное аналитическое решение, выражающееся через полный эллиптический интеграл первого рода

: (69)

(70).

Для случая имеет место разложение:

(71)

с помощью которого для периода колебаний математического маятника имеем

. (72)

Задание. Оцените те значения углов начального отклонения, при которых полученная вами формула периода колебаний математического маятника даёт ошибку, не превышающую одного процента.

Задание. Найдите с помощью проведения соответствующих экспериментов в окрестности токи .

Указание. Учесть, что функция в окрестности точки имеет особенность: её первая производная стремится к бесконечности. Постарайтесь выделить эту особенность в точке , то есть представить в виде произведения некоторого множителя, производная которого стремится к бесконечности при и другого множителя, который уже можно разложить в ряд Тейлора по степеням величины ( ).

Задание. Исследовать явление параметрического резонанса. Представьте себе, что мы имеем математический маятник, длина которого l периодически изменяется о времени в соответствии с формулой

(73)

Пусть этот маятник находится в вертикальном положении ( ). Тогда, несмотря на то, что согласно формуле (73) изменяется только вертикальная координата грузика маятника, при некоторых соотношениях между частотой собственных колебаний этого маятника (при постоянном значении его длины ) и частотой изменения его длины даже при сколь угодно малой величине амплитуды ( ) этого изменения, маятник начинает раскачиваться! Это известное явление параметрического резонанса, которое встречается во многих областях науки (в нашем случае оно связано с потерей устойчивости нижнего положения равновесия исследуемого маятника). На плоскости ( , ) существуют зоны устойчивого и неустойчивого движения (в последнем случае маятник начинает раскачиваться). Если представляет собой достаточно малую величину, уравнения, описывающие его колебания, можно свести к известному уравнению Матье [4], для которого диаграмма устойчивых и неустойчивых зон движения хорошо известна. В результате проведения соответствующих вычислительных экспериментов вам требуется построить аналогичную диаграмму для значений и , изменяющихся в достаточно широких пределах.

Проектное задание. Исследовать зависимость амплитуды колебаний математического маятника от времени для начальных углов отклонения, близких к точке верхнего положения равновесия. Пронаблюдать переход от колебательного к вращательному движению маятника за счёт накопления вычислительных ошибок применяемого численного метода. Убедиться в том, что колебания маятника при больших амплитудах очень сильно отличаются от гармонических.