6.Моменты.Дисперсия.Среднеквадратическое отклонение.

Наиболее часто используются начальные и центральные моменты. Начальным моментом порядка S называется сумма вида d_s[X]=∑ x^s_i *p_i - для дискретной случайной величины, d_s[X]= x^s*f(x)dx. Не трудно убедиться что математическое ожидание случайной величины – это случайный момент 1ого порядка. Общая формула: d_s[X]= bM[x⁶]. Для определения центрального момента требуется определить центрирование случайной величины. Пусть имеется величина Х с математическим ожиданием m_х, тогда Х⁰ – центрированная случайная величина, равная отклонению величины от математического ожидания. Х⁰=Х-m_х.

М[X⁰]=0, т.к. М[X⁰]= М[Х-m_х] = ∑(x_i – m_x)p_i =∑x_ip_i – m_x∑p_i = m_х - m_х =0

Центральным моментом порядка S центрированной случайной величины

µ_s[X⁰]= M[X^s]= М([Х-m_х]⁶) µ_s= ∑(x_i – m_x)⁶p_i

Для непрерывной случайной величины вместо суммы – интеграл:

µ_s = (x-m_x)⁶f(x)dx µ₁=M[X⁰]= М[Х-m_х] =0

На практике большое значение имеет 2ой центральный момент:

D[x]= M[X^{0 2}] – дисперсия. D[x]= М[(Х-m_х)²]= ∑(x_i – m_x)²p_i

D[x] = (x-m_x)²f(x)dx ДЛЯ ДИСКРЕТНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

σ [x]= - среднеквадратическое отклонение.

7.Закон равномерной плотности и нормальный закон распределения

Закон равномерной плотности

Во многих практ. задачах значение непрерывной случайной величины лежат в некоторых пределах, внутри интервала все значения равновероятны. Такие случайные величины распределены значению равномерной плотности. Рассмотрим непрерывную случайную величину, распределенную на

f(x)=C при α< β

Найдем значение для плотности вероятности и функцию распределения

с(β -α)=1

с=1/ β –α- выражение для плотности распределения

система: f(x)= 1/ β –α, при α<x< β

f(x)=0, При x< α или x> β

F(x)=cистема: 0, при x< α

x-α/ x- β, при α<x< c

1, при x> β

Нормальный закон распределения

Закон Гаусса играет исключительную роль в теории вероятности и мат.статистики. Это предельный закон, к которому стремятся другие законы при определенных условиях.

Сумма большого числа независимых случайных величин, подчиняющиеся каким угодно законам распределения, имеет нормальное распределение и это условие выполняется точнее, чем больше число слагаемых. Важно, чтобы интенсивности всех слагаемых были относительно малыми.

f(x)= e^(x-m)2/2σ2 - плотность распределения для нормального закона

σ²- дисперсия, σ- среднеквадратическое отклонение, m- мат.ожидание

В точке мат. ожидание имеет максимальное значение.

8.Выборочные оценки

Для нахождения закона распределения нужно обладать достаточно обширным материалом. Обычно приходится иметь дело с выборкой из генеральной совокупности, имеющую небольшую длину. Это связано со сложностью и стоимостью постановки ответов. Такого ограниченного материала недостаточно для оценивания заранее неизвестного закона распределения. Бывает достаточно для параметров распределения и числовых характеристик случайных величин. Любая замена истинного параметра его оценки всегда приводит к определенным ошибкам- значение искомого параметра оценивается на основе выборки и будет содержать элемент случайности. Такое случайное значение параметра – выборочная оценка параметра. Требуется выбирать такие оценки, которые удовлетворяли некоторым требованиям. Пусть имеется случайная величина x , закон распределения которой содержит α(параметр). α оценивается по размерам n наблюдений x. Такая оценка α= α^(как он говорил α и сверху галочка).Нужно, чтобы оценка параметра α обладала некоторыми свойствами:

1)Необходимо, чтобы использование оценки α^ вместо α не приводило к систематическим ошибкам(завышение или занижение)

M[ α^]= α

Оценки, удовлетворяющие этим условиям, несмещенные.

1. Чтобы несмещенная выборочная оценка обладала наименьшей дисперсией по сравнению с другими оценками

D[ α^]=min

Оценки, удовлетворяющие этому условию, эффективные.

2. Желательно чтобы оценка α^ при увеличение числа опытов N сходилась по вероятности к истинному параметру α. Это свойство самостоятельности.

Оценки для мат ожидания и дисперсии

Для мат ожидания в качестве оценки естественно принять среднее значение

m^_x=x¯̄= _I такая оценка несмещенная, состоятельная, эффективная, не имеет систематического отклонения

В качестве оценки дисперсии наиболее естественной представляется статистическая дисперсия

D^*= _I-m^_x)² такая оценка смещенная, не равна истинному значению(она меньше)

Чтобы устранить:

D^=σ^²_x=S²_x= _i-m^_x)²

При больших N обе оценки будут отличаться мало. При малых- отличие существенно.