3.Вероятность попадания заданной величины на заданный участок от α до β.

При решении задач, связанных со случайными величинами часто требуется определить вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в некоторых пределах, например от α до β.

α≤X<β

рассмотрим событие, что случайная величина приняла значение α≤X<β, разобьём на 3 события:

событие А, состоит в том, что x<β;

событие В, состоит в том, что x<α;

событие С, состоит в том, что α≤X<β;

А=В+С

P(X<β)=P(X<α)+P(α≤x<β), или F(β)=F(α)+P(α≤X<β), отсюда P(α≤X<β)= F(β)-F(α)

Вероятность попадания случайной величины на заданный участок равна разности приращений функции распределения на данном участке.

Будем неограниченно уменьшать участок от α до β, приближая β к α и вычислим вероятность попадания на такой интервал.

В пределе мы получим вероятность того, что непрерывная случайная величина примет конкретное значение α.

Вероятность того, что

Если функция распределения непрерывна, предел этой разности равен 0.

Вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна 0.

Это означает, что обладать нулевой вероятностью могут обладать не только невозможные, но и возможные события.

Однако, при выполнении опытов непрерывная случайная величина обязательно примет одно из своих возможных значений, т.е. произойдёт событие, вероятность которого до опята была равна 0.

4.Плотность распределения

Пусть имеется непрерывная случайная величина Х с функцией распределения F(x), которая непрерывна и дифференцируема. Вычислим вероятность попадания той случайной величины на участок от х до х+Δх

Рассмотрим отношение этой вероятности к длине участка , т.е. среднюю вероятность приходящуюся на единицу длины этого участка и будем приближать к 0. В пределе

Кривая изображающая плотность распределения наз-ся кривой распределения

П лотность распределения также как и функция распределения является одной из форм закона распределения однако в отличие от функции распределения эта форма не является универсальной, она существует только для непрерывных случайных величин. Рассм. Непрерывную случайную величину и участок , примыкающий к точке х. Вероятность попадания случайной величины на этот элементарный участок определяется произведением элемент вероятности

В ыразим вероятность попадания x на отрезок от α до β через вероятность

Выразим функцию распределения через плотность

интегральный закон распределения.

Свойства плотности.

1. . Плотность распределения является неотрицательной функцией.

2.

5.Числовые характеристики случайных величин

Каждый закон распределения представляет собой некоторую функцию и указание этой функции полностью описывает случайную величину с вероятностной точки зрения. Однако во многих практических задачах оказывается достаточным указывать только отдельные числовые параметры характеризующие существенные черты распределения случайной величины. Как правило это некоторое среднее значение около которого группируются возможные значения случайной величины, а также какое-либо число характеризующее степень разбросанности возможных значений относительно этого среднего. Такие параметры и называют числовыми характеристиками случайной величины. На практике применяется большое количество различных числовых характеристик. Рассм наиболее часто используемые.

Характеристики положения. Они характеризуют положение случайной величины на числовой оси. К этим характеристикам относятся математическое ожидание, мода, медиана. Наиболее важную роль играет МО случайной величины.

Имеется случайная величины Х с х₁,х₂…х_n с вероятностями р₁,р₂..р_n. Требуется охарактеризовать каким-то числом положение случайной величины Х на оси абцисс с учетом того что возможные значения этой случайной величины имеют различные вероятности. Для этой цели используется среднее взвешенное из возможных значений случайной величины. При таком взвешивании каждое возможное значение учитывается с весом пропорциональным вероятности этого значения. Таким образом будет вычислено среднее значение случайной величины Х которое обозначим

Полученное среднеее взвешенное значение называется математическим ожиданием. Определенное таким образом МО является мат ожиданием дискретной случайной величины. Для непрерывной случайной величины

МО выраженное числом обозначается m_x.

Мода M

Медиана Ме

Модой случ величины называют наиболее вероятное значение. В общем случае мода и МО не совпадают, однако когда распределение симметричное и модальное (т.е. имеет моду) МО совпадает с модой и с центром симметрии распределения.

Медианой случ величины Х является такое ее значение для которого вероятность того что Х меньше медианы равна вероятности того что Х больше медианы