1.Случайные величины и их законы распределения. Ряд распределения, многоугольник распределения.
2.Функция распределения
3.Вероятность попадания случайной величины на участок.
4.Плотность распределения
5.Числовые характеристики случайных величин
6.Моменты.Дисперсия.Среднеквадратическое отклонение.
7.Закон равномерной плотности и нормальный закон распределения.
8.Выборочные оценки, оценка для мат. Ожидания и дисперсии
9.Доверительный интервал и доверительная вероятность.
10.Статистический анализ данных.Структура данных.
11.Гистограммы
12.Выбросы.
13.Обобщающие показатели. Перцентель.
14.Экстремумы,квартили и блочные диаграммы. Изменчивость.
15.Дисперсионный анализ.
16.Анализ сгруппированных данных.
17.Прогнозирование стационарных показателей.
18.Меры точности прогноза
1.Случайные величины и их законы распределения. Ряд распределения. Многоугольные распределния.
Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то, либо иное значение. Неизвестно заранее, какое именно. Различаются случайные величины дискретного и непрерывного типа. Возможные значения дискретных величин могут быть заранее перечислены. Возможные значения непрерывных величин не могут быть перечислены. Они непрерывно заполняют какой-то промежуток числовой оси. К непрерывным величинам, например, относится расстояние от точки попадания до центра мишени. Случайные величины обозначаются большими буквами, а их возможные значения малыми.
X, x1=0, x2=1, x3=2, x4=3
Пусть имеется дискретная величина X со значениями x1,x2,x3…xn, каждое из этих значений возможно, но недостоверно. Случайная величина X может принять каждый из этих возможных значений с некоторой вероятностью. В результате опыта случайная величина X примет одно из этих значений. Т.е. произойдёт одно из неполной группы несовместных событий.
X=x1
X=x2 (1)
X=xn
Обозначим вероятность этих событий буквой P несовместных событий
P(X=x1)=p1
P(X=x2)=p2
P(X=xn)=pn
Так как все события представляют полную группу, то сумма этих вероятностей должна быть равна 1.
Эта суммарная вероятность каким-то образом распределена между отдельными значениями.
Случайная величина будет полностью описана с вероятностной точки зрения, если мы зададим это распределение, т.е. в точности укажем, какой вероятностью обладают каждое из возможный значений системы 1.Таким образом, мы установим закон распределения случайной величины.
Закон распределения случайной величины – это всякое соотношение, устанавливающее связь между возможным значением случайной величины и соответствующими им вероятностями.
Простейшая форма задания закона распределения случайной величины – таблица, в которой перечислены все возможные значения и соответствующие им верояности.
xi |
X1 |
X2 |
… |
Xn |
pi |
P1 |
P2 |
… |
pn |
Такая таблица называется рядом распределения случайной величины X. Чтобы предать ряду распределения более наглядный вид, используется его графическое изображение. По оси x откладываются возможные значения, а по оси y вероятности. Полученные точки соединяются линиями и получается многоугольник распределения.
Многоугольник распределения, так же как и ряд распределения полностью характеризует случайную величину, т.е. он является одной из форм закона распределения.
2.Функция распределения.
Ряд распределения является исчерпывающей характеристикой Закона распределения дискретной случайной величины. Очевидно, что эта характеристика не является универсальной. Для непрерывной случайной величины такую характеристику построить нельзя. Каждое отдельное возможное значение случайной величины не обладает никакой отличной от 0 вероятностью. Ряд распределения в том виде, в котором он существует для дискретной случайной величины не может быть построен. Однако различные области возможных значений непрерывной случайной величины все же не являются одинаково вероятностными, т.е. для непрерывной случайной величины так же существует распределение вероятностей. Для количественной характеристики этого распределения удобно использовать не вероятность события X=x, а вероятность события X<x. Вероятность этого события очевидно зависит от значения x, т.е. она является функцией от x. Вот эта функция и называется функцией распределения непрерывной случайной величины
F(x)=f(X<x)
Свойства:
Функция F(x) неубывающая при x2>x1, F(x2)>F(x1);
На -∞ эта функция принимает значение 0.
F(-∞)=0;
На +∞ функция распределения =1
F(+∞)=1
График можно построить для непрерывной случайной величины. График функции распределения представляет собой график неубывающей функции
В общем случае эта функция может иметь разрывы.
В полном смысле непрерывная случайная величина, для которой функция распределения является гладкой непрерывной функцией. Зная ряд распределения дискретной случайной величины можно легко построить функцию распределения этой величины.
При x<0,
P(x)=P(X<x)=0,
При 0<x≤1,
F(x)=P(X<x)=P(x=0)=0,7
При x>1,
F(x)=P(X<x)=P(x=0)+P(x=1)=1
Функция распределения случайной величины – это ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках возможных значений этой случайной величины. величина скачков равна соответствующим вероятностям этих значений, сумма всех скачков равна 1. По мере увеличения числа возможных значений случайной величина, число скачков становится больше, величина скачков меньше.
Таким образом ступенчатая кривая становится всё плавней. При бесконечном увеличении числа возможных значений, дискретная величина стремится к непрерывной, а её функция распределения к непрерывной функции.
