Лекция №5

5.1 Минимизация двоичных функции.

Пусть двоичная функция fпредставлена в виде ДНФ:

(5.1.1)

Определение 5.1.2:Сложностьюпредставления (5.1.1) булевой функцииfназывается число операций «» и «» в записи (5.1.1).

Замечание 5.1.3:Операции «отрицания» в определении 5.1.2 не учитываются.

Определение 5.1.4:Задача минимизации для функцииfзаключается в нахождении заданий функцииfв виде ДНФ, у которых сложности минимальны. Такие ДНФ называютсяминимальными(МДНФ).

Определение 5.1.5:Импликантамидвоичной функцииfназываются элементарные конъюнкции, входящие во всевозможные ДНФ функцииf. Импликантафункцииfназываетсяпростой, если все элементарные конъюнкции, полученные из неё удалением некоторых переменных, не являются импликантами функцииf.

Утверждение 5.1.6:Пусть. Следующие утверждения эквивалентны:

1. является импликантой функцииf;

2. ;

3. .

Доказательство:Покажем эквивалентность первых двух утверждений. Если– импликанта и– та ДНФ, в которую входит, например,, то

.

Обратно, если– некоторая ДНФ, то в силу тождестваконъюнкцию можнодописать в качестве (k+1)-ой импликанты в эту ДНФ не нарушая равносильности.

Эквивалентность утверждений 2 и 3 следует из тождеств:

,

.

Утверждение доказано.

Утверждение 5.1.7:В минимальной ДНФ функцииf() все импликанты являются простыми.

Доказательство:Пусть- минимальная ДНФ функцииf. Предположим, что импликантане простая. Тогда её можно представить в виде произведениядвух элементарных конъюнкций от разных переменных, одна из которых, например,также является импликантой функцииf. Согласно утверждению 5.1.6:

, или иначе

.

Таким образом, получено противоречие с минимальностью исходной ДНФ.

Утверждение доказано.

Из этого утверждения вытекает, что задачу минимизации в классе ДНФ можно решать в два этапа.

1-ый этап:Находят все простые импликанты функцииf. Дизъюнкция всех простых импликант функцииfназывается сокращённой ДНФ этой функции.

Замечание 5.1.8:Сокращённая ДНФ функцииfдействительно является ДНФ для f, поскольку, повторяя доказательство утверждения 5.1.7 можно в произвольной ДНФ функцииfзаменить все импликанты на простые.

2-ой этап:Находят все такие ДНФ функцииf, состоящие из простых импликант, из которых нельзя удалить ни одной импликанты. Такие ДНФ называютсятупиковымиилинесократимыми. Подсчитав сложности тупиковых ДНФ, можно выбрать из них ТДНФ с минимальной сложностью, которая и есть МДНФ.

5.2 Геометрическая интерпретация минимизации днф.

Зададим двоичную функцию наn-мерном двоичном кубе. Как было отмечено ранее, при таком задании элементарным конъюнкциям рангаkсоответствуют такие множества вершин, графы связности которых имеют вид (k-n)-мерных кубов. Поскольку дизъюнкции элементарных конъюнкций соответствует объединение множеств вершин таких подкубов, то каждой ДНФ функцииfсоответствует некоторое покрытие множестваM_fединичных вершин функцииf(области истинности) подмножествами, имеющими в качестве графов связности подкубы. Простым импликантам функцииfбудут соответствовать подкубы максимальных размерностей, покрывающие вершины изM_f.

Соответственно, первая задача (1-ый этап)решается перечислением всех максимальных подкубов, содержащихся в графе связности множестваM_f.

Вторая задача (2-ой этап)заключается в нахождении минимальных (по числу подкубов) покрытий множестваM_fмаксимальными подкубами.

Рассмотрим пример. Пусть двоичная функция f(x₁, x₂, x₃, x₄) имеет геометрическое задание, изображённое на рис. 5.2.1:

Рисунок 5.2.1

0000

1000

X₁

X₂

X₃

X₄

0010

1100

0100

1110

1010

0110

0101

1001

1101

1011

0011

0001

0111

1111

Граф связности такой функции имеет вид:

1110

0111

0011

1110

1000

1010

1100

1110

Выпишем сокращённую ДНФ, записывая простые импликанты в том же порядке, в каком они изображены в графе связности:

Легко видеть, что тупиковыми будут две ДНФ:

,

,

соответствующие покрытиям:

Минимальной будет только вторая тупиковая ДНФ.