§3.3 Критерий полноты системы булевых функций.

Теорема 3.3.1.Система булевых функцийполна тогда и только тогда, когда она содержит хотя бы по одной функции каждого из следующих классов :

,,,,. (3.3.2)

(без доказательства).

Пример 3.3.3.Пусть функциязадана таблицей 3.3.4

0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1	1 0 0 0 0 0 0 0

Таблица 3.3.4

Показать, что - Шефферова функция, т.е.- полная система, т.е.. Выразитьиформулами над К.

Решение:

, ноне

.

Чтобы выяснить вопрос о принадлежности классу, представиммногочленом Жегалкина:

Итак, все условия теоремы 3.3.1 выполнены. Следовательно-полная система, т.е.- Шефферова функция. Теперь решим вторую часть примера. Так как, то очевидно,.

Лекция №4.

§4.1. Псевдобулевы функции.

Пусть Р- произвольное поле. Элементы будем рассматривать как нуль и единицу поля.

Определение 4.1.1. Псевдобулевой функцией отпеременных, или-местной псевдобулевой функцией, над полем Р приназывается любое отображениев Р. Нуль-местными псевдобулевыми функциями над Р называются все элементы поля Р.

Множество всех пседобулевых функций от переменных над полем Р обозначим через. В частности, прикласссовпадает с классом булевых функций. В других случаях эти классы различны и если условиться , псевдобулеву функцию со значением изсчитать булевой, то :.

Множество функций относительно естественным образом определяемых операций сложения функций и умножения функций на элементы из Р образуют линейное пространство над полем Р.

Рассмотрим систему функций:

(4.1.2)

,где -символ Кронекера, т.е. :

Утверждение 4.1.3.Система функций (4.1.2) является базисом пространства.

Доказательство.Очевидно, что система (4.1.2) – линейно независимая система. Далее пусть- произвольная функция из. Тогда очевидно, что :

(4.1.4)

Отсюда следует, что (4.1.2) – базис пространства .

Замечание 4.1.5.Если, то- булева функция и разложение (4.1.4) функциисовпадает с разложением , полученным заменой в её СДНФ операциина.

Замечание 4.1.6.Если, то система функций :

(4.1.7)

является базисом пространства . Это следует из теоремы 2.2.4 об однозначном представлении булевых функций многочленами Жегалкина. В этом случае представление функции многочленом Жегалкина есть (4.1.7).

Замечание 4.1.8.Представление булевых функций через базисы пространствасопряжено со многими трудностями. Вот две из них :

1. Непростым является вопрос об описании базисов пространства ;

2. Если даже имеется система функций являющаяся базисом пространства, то в общем случае сложным является вопрос о нахождении коэффициентов в разложении булевой функции по указанному базису.

Замечание 4.1.9.В решении вопроса об описании базисов пространстваиногда оказывается полезным переход от пространствак пространствувекторов-столбцов длиннынад полем Р. Сопоставим каждой функциивектор столбец значенийэтой функции. В итоге получаем отображениепространствав пространство. Нетрудно видеть, чтоесть изоморфизм пространств, а поэтому система функцийявляется базисом пространстватогда и только тогда, когда матрицаявляется невырожденной .