Определение 1.1.9Множество двоичных наборов

{(a₁, ... ,a_n) | f(a₁, ... ,a_n) = 1}, на которых функция f принимает значение 1, называется областью истинности функции f.

Мощность области истинности функции f называетсявесом функции f и обозначается ||f||.

Очевидно, что 0 ||f||  2ⁿ, причем равенства достигаются лишь для функций-констант0и1. Если||f|| = 2^n-1, то функцияf называется равновероятной.

Для двоичных функций используются и другие способы задания, приспособленного для рассматриваемой в каждом конкретном случае задачи, которые будут рассмотрены ниже.

§1.2 Геометрический способ задания

Под геометрическим способом задания двоичной функции f(x₁, ... ,x_n) понимается выделение тех вершин n –мерного двоичного куба, на наборах координат которых функция принимает единичное значение. На рис. 1.2.1 приведены двоичные кубы размерностей n = 0, 1, 2, 3.

Рис. 1.2.1

Выделим среди множества вершин n-мерного куба те, на наборе координат которых функция принимает единичное значение. Например, функции, заданной таблицей 1.2.2 соответствует геометрическое задание, изображенное на рис. 1.2.3

Таблица 1.2.2

x1	x2	x3	f	Рис. 1.2.3
0	0	0	1
0	0	1	0
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	0
1	1	0	1
1	1	1	1

Часто по геометрическому заданию функции строят граф связностивершин n-мерного куба, соответствующий данной функции. Для этого сначала отмечают те ребра, у которых оба конца выделены, т.е. соответствующие вершины лежат в области истинности. Затем все остальные ребра и вершины, не лежащие в области истинности, отбрасывают. Так функции, изображенной на рис. 1.2.3, соответствует граф связанности вида

Рис 1.2.4

§1.3 Задание двоичных функций формулами

Пусть имеется некоторый класс (т.е. множество) двоичных функций K. Он может быть как конечным, так и бесконечным. Обозначим черезf₁, f₂, ... ,входящие в него функции, и пустьX={x₁, x₂ ,...} множество двоичных переменных. Дадим индуктивное определениеформулы над классом K.

1. Символ переменной x_i, x_iX есть формула над K.

2. Если f –обозначение некоторой функции отmпеременных из классаKиФ₁, ..., Ф_m - формулы надK то записьФ = f(Ф₁, ... , Ф_m) есть формула надK

Таким образом, формулы – это записи, в которых используются символы переменных и функций из K. Если необходимо подчеркнуть, от каких переменных зависит формулаФ, то используют обозначениеФ(x₁, ... ,x_n), гдеx₁, ... ,x_n - это все переменные, участвующие в задании формулыФ.

Установим теперь связь между формулами и двоичными функциями. Сначала заметим, что для произвольного набора значений переменных, входящих в формулу, можно, используя индуктивных характер определения, вычислять ее значение на этом наборе. Действительно, если значение формул Ф₁, ..., Ф_m, входящих в формулу Ф = f(Ф₁, ... , Ф_m), уже подсчитаны и равны соответственно b₁, ..., b_m, b_iF₂, то значение формулыФравно значению функции f(b₁, ..., b_m). Поставим в соответствие каждой формулеФ(x₁, ... ,x_n)функциюf_Ф(x₁, ... ,x_n), зависящую от тех же переменных, значения которой при всех значениях переменных совпадают со значениями формулыФ(x₁, ... ,x_n).

Легко видеть, что одна и та же формула может быть использована для записи целого ряда функций. Например, формула x₁соответствует функциям

x1	f1
0	0
1	1

x1	x2	f
0	0	0
0	1	0
1	0	1
1	1	1

x1	x2	x3	f
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

и.т.д. Поэтому естественным оказывается следующее определение.

Определение 1.3.1 Подфункциями, реализуемыми формулойФпонимается функция f_Ф , а также все функции, которые получаются изf_Фудалением или добавлением несущественных переменных.

С другой стороны, одной функции может соответствовать множество различных формул. Например, рассматриваемые выше функции могут быть заданы любой из следующих формул:

x₁,x₁(x₁ x₂),x₁ (x₁ x₂), x₁ (x₂ ), ...

Чтобы учесть эту неоднозначность введем понятие равносильности

формул.

Определение 1.3.2.Две формулыФ₁ иФ₂ называютсяравносильными (обозначаетсяФ₁ = Ф₂), если они реализуют одинаковые множества функций.

Замечание 1.3.3.Заметим, что для проверки равносильности формул Ф₁ иФ₂ достаточно добавить к функциите переменные, которые входят вФ₂, но не входят в формулуФ₁, а к функциидобавить переменные изФ₁, которые не входят в формулуФ₂, а затем сравнить таблицы полученных функций.

Приведем два свойства, облегчающих проверку равносильности формул. Для их формулировки нам потребуется понятие подформулы.

Определение 1.3.4. Подформулой формулыФназывается сама формулаФ;подформулойформулыf(Ф₁, ..., Ф_m)называется она сама, а также все подформулы формулФ₁, ..., Ф_m.

Свойство 1.3.5. ЕслиФ₁- подформула формулыФ, иФ₁равносильнаФ₂, то подформулаФ’, полученная изФпутем заменыФ₁наФ₂будет равносильна формулеФ.

Свойство 1.3.6. Если формулыФ₁иФ₂равносильны, то, подставив одновременно в них вместо некоторых переменных любые формулы, получим в результате также равносильные формулы.