§3.1 Полнота и замкнутость. Функционально полные системы.

Определение 3.1.1.Для произвольного класса системы двоичных функциймножество всех двоичных функций, представимых формулами ,над, называется замыканием класса (системы) функцийи обозначается через.

Имеют место следующие свойства замыкания:

Свойство 3.1.2..

Свойство 3.1.3.

Свойство 3.1.4.

Обозначим через - множество всех двоичных функций от переменных, а черезмножество всех двоичных функций (от произвольного числа переменных).

Определение 3.1.5.Система функцийназывается полной, если.

Утверждение 3.1.6.Система функцийявляется полной системой функций.

Доказательство. Очевидно, что элементарная конъюнкцияявляется формулой над. Отсюда следует, что дизъюнкция любого числа элементарных конъюнкций является формулой над. Отсюда и из равенства (2.1.13) следует, что любая функция,представима над формулой. Следовательно,.

Утверждение 3.1.7.Система функцийявляется полной системой функций.

Доказательство.Очевидно, что, из равенстваследует, что. Отсюда и из свойств 3.1.3 и 3.1.4 имеем, т.е.. Таким образом, показано, чтои. Полученные включения означают, что

Утверждение 3.1.8.Система функцийявляется полной системой функций.

Доказательство.Очевидно, что, из равенстваследует, что. Отсюда и из свойств 3.1.3 и 3.1.4 имеем, т.е.. Таким образом, показано, чтои. Полученные включения означают, что

Утверждение 3.1.9.Система функцийявляется полной системой функций, где- двоичная функция, называемая штрихом Шеффера, задается таблицей

0 1 0 1 1	1 1 1 0

Доказательство.Очевидно, что. Из равенств:

и

следует, что . Далее доказательство текстуально аналогично доказательству утверждения 3.1.8 при подстановкевместо

Утверждение 3.1.10.Система функций, является полной системой функций.

Доказательство.Очевидно, что. Из равенстваследует, что. Далее доказательство текстуально аналогично доказательству утверждения 3.1.8 при подстановкевместо

Утверждение 3.1.11.Система функций, является полной системой функций, где- двоичная функция, называемая стрелкой Пирса, задается таблицей:

0 1 0 1 1	1 0 0 0

Доказательство.Очевидно, что. Из равенств :иследует , что. Далее доказательство текстуально аналогично доказательству утверждения 3.1.8 при подстановкевместоивместо

Определение 3.1.12.Каждая двоичная функциясама одна образующая полную систему называетсяШефферовой функцией.

Пример 3.1.13.Функцияявляется Шефферовой функцией. Это следует из утверждения 3.1.9.

Пример 3.1.14.Функцияявляется Шефферовой функцией. Это следует из утверждения 3.1.11.

Примеры Шефферовых функций от большего числа переменных будут приведены ниже, после изложения критерия полноты системы двоичных функций.

§3.2. Замкнутые классы булевых функций.

Определение 3.2.1.Класс булевых функцийназывается замкнутым, если он совпадает со своим замыканием, т.е..

Замечание 3.2.2Полное описание всех замкнутых классов было дано американским математиком Э. Постом. В частности, он доказал, что множество всех замкнутых классов булевых функций счетно и в каждом замкнутом классеможно выделить конечную подсистему, порождающую, т.е. имеющую своим замыканием класс, т.е..

Определение 3.2.3.Булева функцияназывается функцией,сохраняющей константу 0, если.

Класс всех булевых функцией, сохраняющих константу 0, обозначим .

Определение 3.2.4.Булева функцияназывается функцией,сохраняющей константу 1, если.

Класс всех булевых функцией, сохраняющих константу 1, обозначим .

Определение 3.2.5.Булева функцияназываетсялинейной, если, такие ,что.

Класс всех булевых линейных функций обозначим через .

Определение 3.2.6.Булева функцияназываетсяаффинной функцией, если, такие, что.

Обозначим через класс всех булевых аффинных функций.

Определение 3.2.7. Булева функцияназываетсясамодвойственной функцией, если(3.2.8)

Класс всех булевых самодвойственных функций обозначим через S.

Далее определим понятие монотоннойфункции. Для этого нам необходимы некоторые дополнительные сведения. Изложим их. На множествевведем отношение, положив для наборови:, где отношениенапонимается как неравенство на множестве чисел {0,1}.

Несложно доказать, то отношение рефлексивно, транзитивно и антисимметрично, т.е. является отношением частичного порядка.

Определение 3.2.9.Булева функцияназываетсямонотонно возрастающей, илимонотонной, если для любых набороввыполняется условие:

Замечание 3.2.10.Нульместные функции 0 и 1 также естественно считать монотонными.

Класс всех булевых монотонных функций обозначим через М.

Утверждение 3.2.11. Классы булевых функцийиявляются замкнутыми классами булевых функций.

Для доказательства данного утверждения нам необходимо определить понятие ранга формулы над классом.

Определение 3.2.12.Число всех символов функций из, встречающихся в формуленад, называется рангом формулыи обозначается через.

Замечание 3.2.13. Понятие ранга формулынад классомне следует путать с понятие ранга элементарной конъюнкции из определения 2.1.1.

Доказательство утверждения 3.2.11.Замкнутость перечисленных в утверждении 3.2.11 шести классов функций доказывается по одной и той же схеме. Проделаем это для какого-нибудь одного класса, например S.

Согласно определениям замыкания (определение 3.1.1) и замкнутого класса (определение 3.2.1) нам необходимо доказать, что любая функция, представимая формулой над S, принадлежит S. Докажем это индукцией по рангу формулы А, представляющей функцию.

Если , то, и утверждение очевидно, так как.

Пусть утверждение верно для всех , таких что, где.

Докажем, что утверждение верно и при .

Если , то А имеет вид:, гдеи- формулы меньших рангов, чем, т.е.. По предположению индукции формулыпредставляют булевы функции. Тогда для любыхимеем:

Следовательно , удовлетворяет условию (3.2.8), т.е