§ 4.2. Функции к-значной логики.

Пусть , где.

Определение 4.2.1.Функцией k-значной логики, или k-значной функцией, от переменных приназывается произвольное отображениеk-значными функциями от 0 переменных называются функции- константы 0,1,…,к-1.

Обозначим через имножества всех k-значных функций и k-значных функций отпеременных.

При изучении k-значных функций используются многие из терминов и обозначений, введенных при изучении булевых функций. В частности, аналогичным образом определяются равенство функций, существенные и несущественные переменные, функции от переменных, тождественно равны константам 0,1,…,к-1, подфункции и т.д.

Так как множество конечно, тоk-значную функцию отпеременных можно задать таблицей её значений на всех наборах (или векторах) из. При этом условимся записывать их в порядке возрастания как числа в конечной системе исчисления. Непосредственно из табличного значения видно, что различныхk-значных функций равно. Притабличное заданиеk-значных функций практически еще более трудно осуществимо.

В связи с этим важным вопросом является вопрос о разработке аналитических способов k-значных функций.

Множество можно рассматривать как кольцо вычетовпо модулю, и потому можно считать определенными наоперации сложения и умножения по модулю. Будем обозначать эти операции притеми же значками, что и операции над числами. Используя эти операции и функции-константы можно построить кольцо многочленовот переменных. Каждый многочлен из этого кольца представляетk-значную функцию отпеременный . При простом, когда- есть поле, многочленами представляются всеk-значные функции. При составном- это не так.

Используя операции сложения и умножения, а так же элементарные функции

можно получить представление k-значной функции сходное с совершенной дизъюнктивной нормальной формой для случая.

(4.2.2)

Другими, часто используемыми операциями на являются аналоги дизъюнкции, конъюнкции и отрицания :

.

Для k-значных функций, как и в двоичном случае, можно ввести понятия операции, представления функций формулами над заданной системой функций, замыкания, замкнутой и полной системы функций и.т.д. Приведем примеры полных систем k-значных функций.

1. Из представления (4.2.2) следует, что полной является система функций

2. Так как в разложении (4.2.2) операцию сложения можно заменить на дизъюнкцию( выбор максимума), то полной является также система функций

3. Наряду с разложением (4.2.2) имеет место еще один аналог совершенной дизъюнктивной нормальной формы функции , где. Отсюда следует, что полной является система функций.

4. Система функций является полной системой функций.

Доказательство.С помощью суперпозиции из функциилегко получить функции. Из них получим константу, а поэтому все функции константы. Теперь нетрудно получить функции:

.

Как следует из примера 3, остается построить функцию , т.е.Для этого сначала построим функции

Теперь из них можно получить функции и.

5. Аналогично функции Шеффера в k-значной логике является функция Вебба, которая одна образует систему, т.е. системаявляется ????????

Доказательство.Используяприимеем. Далее получаем :

А так как . Отсюда имеем, что- полная система функций.

Утверждение 4.2.3. Всеk-значные функции представляются многочленами надв том и только том случае, когда к- простое число, т.е.-поле.

(без доказательства).

Утверждение 4.2.4.(критерий полноты- Критерий ?????Слунецкого??).

Пусть система k-значных функцийKсодержит се функции одной переменной, причем. Тогда для полноты системы К необходимо и достаточно, чтобы К содержала функцию, существенно зависящую по меньшей мере от двух переменных и принимающую всезначений из.