
- •Лекция №1 Основные способы задания двоичных функций
- •§1.1 Табличный способ задания
- •Определение 1.1.9Множество двоичных наборов
- •§1.2 Геометрический способ задания
- •§1.3 Задание двоичных функций формулами
- •Основные способы задания двоичных функций. (продолжение)
- •§2.1 Нормальные формы двоичных функций.
- •§2.2 Многочлен Жегалкина и действительный
- •§ 2.3. Теорема о разложении в ряд Фурье.
- •§3.1 Полнота и замкнутость. Функционально полные системы.
- •§3.2. Замкнутые классы булевых функций.
- •§3.3 Критерий полноты системы булевых функций.
- •§4.1. Псевдобулевы функции.
- •§ 4.2. Функции к-значной логики.
- •Лекция №5
- •5.1 Минимизация двоичных функции.
- •5.2 Геометрическая интерпретация минимизации днф.
- •Лекция №6
- •6.1 Метод Квайка – Мак-Класски нахождения сокращённой днф двоичной функции.
- •6.2 Метод нахождения тупиковых днф.
- •Лекция №7
- •7.1 Алгебраические системы. Булевы алгебры.
- •7.2 Изоморфизм алгебраических систем.
Основные способы задания двоичных функций. (продолжение)
§2.1 Нормальные формы двоичных функций.
Всюду в этом параграфе рассматриваются
формулы над классом
.
Обозначим через
функцию
Очевидно, что
тогда и только тогда, когда
,
Определение 2.1.1Элементарной
конъюнкцией называются формулы вида,
где все переменные различны.Рангомэлементарной конъюнкции называется
число входящих в неё переменных.
Непосредственно из определения 2.1.1
получаем, что элементарная конъюнкция
принимает единичное значение в том и
только том случае, когда
,
.
Этот факт запомним как свойство
элементарных конъюнкций.
Определение 2.1.2.Дизъюнктивной
нормальнойформой (ДНФ) называется
формула вида,
где дизъюнкция берется по некоторым
наборам
,
и
,
.
Обозначим через
функцию, полученную из функции
фиксацией первых
переменных значениями
.
Из следующей теоремы вытекает, что любую
двоичную функцию можно задать с помощью
ДНФ.
Теорема 2.1.3 (о разложении функции).При любом,
,
двоичную функцию
можно представить в виде:
(2.1.4)
Доказательство.Покажем, что
функция, стоящая в левой и правой части
равенства 2.1.4 , принимает одинаковое
значение при одинаковых значениях
переменной. Пусть.
Тогда в силу свойств элементарных
конъюнкций значение функции из правой
части равно
=
.
Теорема доказана.
Следствие 2.1.5
(2.1.6)
Доказательство.Следует из теоремы
2.1.3, если положить
Следствие 2.1.7
(2.1.8)
Доказательство.Вытекает из следствия 2.1.5 при перенумерации переменных.
Замечание 2.1.9.Разложение (2.1.6) называется разложением Шеннона.
Следствие 2.1.10
(2.1.11)
Доказательство.Следует из теоремы
2.1.3 , если положить.
Замечание 2.1.12.В разложении 2.1.11 можно опустить все элементарные конъюнкции, которым соответствуют нулевые значения функций. Полученная в результате формула имеет вид :
(2.1.13)
Определение 2.1.14.Равенство
(2.1.13) называется совершенной ДНФ (СДНФ)
функции.
Как построить СДНФ функции
?
СДНФ двоичной функции легко построить
по ее табличному заданию. С этой целью
для каждого набора аргументов
,
на котором функция принимает единичное
значение, строится элементарная
конъюнкция ранга
по правилу:
(2.1.15)
Затем берется дизъюнкция всех построенных элементарных конъюнкций. Приведём пример:
Пример 2.1.16.Пусть функциязадана
следующей таблицей:
|
|
0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 |
0 1 0 1 0 0 1 1 |
Построим для неё СДНФ:
Поэтому:
Заметим, что СДНФ является частным
случаем ДНФ. В ней все элементарные
конъюнкции имеют ранг
.
Отличительной особенностью СДНФ
является то, что она однозначно
определяется по функции
.Действительно, все элементарные
конъюнкции в ней находятся во
взаимно-однозначном соответствии с
векторами
из области истинности функции:
.
В отличие от СДНФ, ДНФ не однозначно
соответствует функции. Так функцияиз предыдущего примера может быть
записана в виде следующих ДНФ:
Аналогично ДНФ вводятся конъюктивные
нормальные формы (КНФ). Они являются
конъюнкциями элементарных дизъюнкций
и
имеют вид
,
где конъюнкция берется по некоторым
наборам
,
,
.
Как и в случае СДНФ можно показать, что
функции
соответствует однозначно определенная
КНФ( называемаясовершенная КНФ), в
которой все элементарные дизъюнкции
имеют ранг
.
Её можно получить из СДНФ функции
:
с помощью соотношений:
,
.
Из свойств 1.3.5 и 1.3.6 равносильных формул
имеем :
=
=
.
СКНФ функции
легко
строится по её табличному зданию. Для
функции
,
заданной таблицей 2.1.17, получаем:
Поэтому