Основные способы задания двоичных функций. (продолжение)

§2.1 Нормальные формы двоичных функций.

Всюду в этом параграфе рассматриваются формулы над классом . Обозначим черезфункцию

Очевидно, что тогда и только тогда, когда,

Определение 2.1.1Элементарной конъюнкцией называются формулы вида, где все переменные различны.Рангомэлементарной конъюнкции называется число входящих в неё переменных.

Непосредственно из определения 2.1.1 получаем, что элементарная конъюнкция принимает единичное значение в том и только том случае, когда,. Этот факт запомним как свойство элементарных конъюнкций.

Определение 2.1.2.Дизъюнктивной нормальнойформой (ДНФ) называется формула вида, где дизъюнкция берется по некоторым наборам, и,.

Обозначим через функцию, полученную из функциификсацией первыхпеременных значениями. Из следующей теоремы вытекает, что любую двоичную функцию можно задать с помощью ДНФ.

Теорема 2.1.3 (о разложении функции).При любом,, двоичную функциюможно представить в виде:

(2.1.4)

Доказательство.Покажем, что функция, стоящая в левой и правой части равенства 2.1.4 , принимает одинаковое значение при одинаковых значениях переменной. Пусть. Тогда в силу свойств элементарных конъюнкций значение функции из правой части равно=. Теорема доказана.

Следствие 2.1.5

(2.1.6)

Доказательство.Следует из теоремы 2.1.3, если положить

Следствие 2.1.7

(2.1.8)

Доказательство.Вытекает из следствия 2.1.5 при перенумерации переменных.

Замечание 2.1.9.Разложение (2.1.6) называется разложением Шеннона.

Следствие 2.1.10

(2.1.11)

Доказательство.Следует из теоремы 2.1.3 , если положить.

Замечание 2.1.12.В разложении 2.1.11 можно опустить все элементарные конъюнкции, которым соответствуют нулевые значения функций. Полученная в результате формула имеет вид :

(2.1.13)

Определение 2.1.14.Равенство (2.1.13) называется совершенной ДНФ (СДНФ) функции.

Как построить СДНФ функции ?

СДНФ двоичной функции легко построить по ее табличному заданию. С этой целью для каждого набора аргументов , на котором функция принимает единичное значение, строится элементарная конъюнкция рангапо правилу:

(2.1.15)

Затем берется дизъюнкция всех построенных элементарных конъюнкций. Приведём пример:

Пример 2.1.16.Пусть функциязадана следующей таблицей:

0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1	0 1 0 1 0 0 1 1

Таблица 2.1.17

Построим для неё СДНФ:

Поэтому:

Заметим, что СДНФ является частным случаем ДНФ. В ней все элементарные конъюнкции имеют ранг .

Отличительной особенностью СДНФ является то, что она однозначно определяется по функции .Действительно, все элементарные конъюнкции в ней находятся во взаимно-однозначном соответствии с векторамииз области истинности функции:.

В отличие от СДНФ, ДНФ не однозначно соответствует функции. Так функцияиз предыдущего примера может быть записана в виде следующих ДНФ:

Аналогично ДНФ вводятся конъюктивные нормальные формы (КНФ). Они являются конъюнкциями элементарных дизъюнкций и имеют вид, где конъюнкция берется по некоторым наборам,,. Как и в случае СДНФ можно показать, что функциисоответствует однозначно определенная КНФ( называемаясовершенная КНФ), в которой все элементарные дизъюнкции имеют ранг. Её можно получить из СДНФ функции:с помощью соотношений:,. Из свойств 1.3.5 и 1.3.6 равносильных формул имеем :

==.

СКНФ функции легко строится по её табличному зданию. Для функции, заданной таблицей 2.1.17, получаем:

Поэтому