Лекция №1 Основные способы задания двоичных функций

§1.1 Табличный способ задания

Определение 1.1.1Двоичной функциейотn (n  1)переменных называется функцияf(x₁, ..., x_n), аргументы и значения которой выбираются из множестваF₂={0;1}, т.е.f: F₂, где = {a=(a₁, ... ,a_n) | a_iF₂, i(1,... ,n)}

Замечание 1.1.2Двоичные функции от n переменных также называютбулевыми (булевскими)функциями от n переменных или n –местными булевыми функциями.

На множестве определим так называемый лексикографический порядок, т.е. для любого двоичного набора

определим его номер

N(a) = a₁2^n-1 + a₂2^n-2 +...+ a_n-12¹ + a_n2⁰

Тогда двоичная функция однозначно может быть задана следующей таблицей

таблица 1.1.3

Номер набора	x1 ... xn-1 xn	f(x1, ..., xn)
0	0...0 0	f(0, ..., 0,0)
1	0...0 1	f(0, ..., 0,1)
. . .	. . .	. . .
2n-2	1...1 0	f(1, ..., 1,0)
2n-1	1...1 1	f(1, ..., 1,1)

При указанной договоренности о расположении наборов из функция однозначно определяется набором - столбцом значений. Отсюда непосредственно вытекает справедливость следующего утверждения.

Утверждение 1.1.4 Число двоичных функций от n переменных

равно

Перечислим все двоичные функции от одной и двух переменных. Имеется четыре функции от одной переменной

Таблица 1.1.5

x1 \ f	f0	f1	f2	f3
0	0	0	1	1
1	0	1	0	1
Условное обозначение	0	x1		1

Функции f₀ иf₃не зависят от значения переменнойx₁и называютсяконстантными(f₀(x₁)  0, f₃(x₁)  1). Функцияf₁(x₁) = x₁ называетсятождественнойфункцией, а функцияf₂(x₁) = называетсяотрицанием.

Функций от двух переменных – шестнадцать.

Таблица 1.1.6

x1, x2\ f	f0	f1	f2	f3	f4	f5	f6	f7
0 0	0	0	0	0	0	0	0	0
0 1	0	0	0	0	1	1	1	1
1 0	0	0	1	1	0	0	1	1
1 1	0	1	0	1	0	1	0	1
Обозначение	0	x1 x2		x1		x2	x1 x2	x1 x2

x1, x2\ f	f8	f9	f10	f11	f12	f13	f14	f15
0 0	1	1	1	1	1	1	1	1
0 1	0	0	0	0	1	1	1	1
1 0	0	0	1	1	0	0	1	1
1 1	0	1	0	1	0	1	0	1
Обозначение	x1x2	x1~x2				x1 x2	x1| x2	1

Важнейшими из них являются:

f₁ - конъюнкция (x₁ x₂, x₁ & x₂, x₁x₂)

f₆ - сложение по модулю 2 (x₁ x₂ )

f₇ - дизъюнкция(x₁ x₂)

f₈ - функция Пирса (x₁x₂)

f₁₃ - импликация (x₁ x₂)

f₁₄ - функция Шеффера (x₁| x₂)

Определение 1.1.7 Переменнаяx_i , илиi-ая переменная двоичной функцииf(x₁,... , x_n) называетсясущественной переменнойфункцииf(т.е. функцияfсущественно зависит отx_i), если существует набор

(a₁,..., a_i-1, a_i+1,..., a_n)такой, что

f(a₁,..., a_i-1,0, a_i+1,..., a_n) f(a₁,..., a_i-1,1, a_i+1,..., a_n)

В противном случае переменная x_i называетсянесущественной (фиктивной)переменной функцииf.

Так, среди функций от двух переменных имеется ровно десять функций, существенно зависящих от всех своих переменных.

Число двоичных функций от n переменных растет с увеличением n чрезвычайно быстро, например, при n  8 оно равно

Таблица 1.1.8

n	число функций от n переменных
1	2
2	16
3	256
4	65536
5	4294967296
6	> 1.8 1019
7	> 3.4 1038
8	> 1.1 1077

С табличным заданием функции непосредственно связан такой ее параметр, как вес.