19Степеневий ряд. Теорема Абеля. Інтервал та радіус збіжності степеневого ряду. Властивості степеневих рядів.

Ряд, членами якого є функції від х, називається функціональним: (1)

Надаючи х певного значення х₀, ми отримаємо числовий ряд ,який може бути як збіжним, так і розбіжним.

Якщо отриманий числовий ряд збіжний, то точка х₀ називається точкою збіжності ряду (1), якщо ж ряд розбіжний - точкою розбіжності функціонального ряду.

Сукупність числових значень аргументу х, при яких функціональний ряд є збіжним, називається його областю збіжності.

В області збіжності функціонального ряду його сума є деякою функцією від х: S = S(х). Визначається вона в області збіжності рівністю S(х) = де - часткова сума ряду.

Серед функціональних рядів у математиці особливу роль відіграють ряди, членами яких є степеневі функції від аргументу х, тобто так звані степеневі ряди: (2)

Дійсні (або комплексні) числа а₀, а₁, а₂,..., а_n,… називаються коефіцієнтами ряду (2), - дійсна змінна.

Ряд (2) ще називають рядом за степенями х. Розглядають також степеневий ряд за степенями (х - х₀), тобто ряд вигляду

(3),

де х₀ - деяке постійне число.

Про область збіжності степеневого ряду можна судити, виходячи з такої теореми.

Теорема 1 (Абеля). Якщо степеневий ряд (2) є збіжним при х = х₀, то він є абсолютно збіжним при всіх значеннях х, що задовольняють нерівності |x| < |x₀|.

З теореми Абеля виходить, що якщо х₀ ≠ 0 є точкою збіжності степеневого ряду, то весь інтервал (-|x₀|; |x₀|) складається з точок збіжності даного ряду, а при всіх значеннях х поза цим інтервалом ряд (2) є розбіжним.

Рисунок 1

Інтервал (-|x₀|; |x₀|) називають інтервалом збіжності степеневого ряду. Поклавши |x₀| = R, інтервал збіжності можна записати у вигляді (-R; R). Число R називають радіусом збіжності степеневого ряду, тобто R > 0 - це таке число, що при всіх х, для яких |x| <R, ряд (2) є абсолютно збіжним, а при |x| > R ряд є розбіжним (див. рис.1).

Зокрема, коли ряд (2) є збіжним лише в одній точці х₀ = 0, то вважаємо, що R = 0. Якщо ж ряд (2) є збіжним при всіх значеннях (тобто в усіх точках числовій осі), то вважаємо, що R = .

Радіуси збіжності можна знайти за формулами

(4) та (5).

Властивості степеневих рядів:

1. Сума S(x) степеневого ряду (2) є неперервною функцією в інтервалі збіжності (-R; R).

2. Степеневі ряди, що мають радіуси збіжності відповідно R₁ і R₂, можна почленно додавати, віднімати і перемножувати. При цьому радіус збіжності добутку, суми і різниці рядів не менше, ніж менше з чисел R₁ чи R₂.

3. Степеневий ряд усередині інтервалу збіжності можна почленно диференціювати.При цьому для ряду

(6)

при - R < х < R виконується рівність (7).

4. Степеневий ряд можна почленно інтегрувати на кожному відрізку, розміщеному усередині інтервалу збіжності.При цьому для ряду (6) при

- R < а < х < R виконується рівність (8).

Ряди (7) і (8) мають той же радіус збіжності, що і початковий степеневий ряд.