2Диференціальні р-ня з відокремлиними змінними. Однорідні диференціальні рівняння. Лінійні диференціальні рівняння.

Рівняння з відокремлюваними змінними.

Розглянемо рівняння в диференціалах виду

, (2.42)

де – неперервні функції своїх аргументів.

Диференціальне рівняння (2.42) називається рівнянням з відокремленими змінними. Його можна переписати таким чином

.

Звідки маємо загальний розвязок в квадратурах

. (2.43)

Якщо треба записати розвязок задачі Коші, то записують так

.

З умови (2.36) визначають . Отже

(2.44)

– розвязок задачі Коші (2.36), (2.42). При даних припущеннях особливих розвязків диференціальне рівняння (2.42) не має.

Однорідні і узагальнено-однорідні диференціальні рівняння.

Розглянемо рівняння в диференціалах (2.5), в якому функції і є однорідними функціями однієї і тієї ж степені однорідності .

Означення 2.14. Функція називається однорідною функцією виміру , якщо

. (2.49)

Якщо (2.49) виконуються при , то функція називається додатньо однорідною.

Однорідне рівняння завжди можна звести до рівняння вигляду

, (2.50)

в якому функція однорідна функція нульового виміру.

Однорідні рівняння завжди інтегруються в квадратурах заміною

. (2.51)

При цьому рівняння (2.5) приводиться до рівняння з відокремлюваними змінними.

Рівняння вигляду

(2.54)

зводиться до однорідного. Якщо , то це однорідне рівняння.

Припустимо, що хоч одне з чисел не дорівнюють 0. Можливі два випадки.

Перший – Проводимо заміну

, (2.55)

де – нові змінні, – параметри. Тоді

. (2.56)

Параметри вибираємо згідно системи

. (2.57)

Так як , то система (2.57) має єдиний розвязок. Таким чином, ми прийшли до однорідного диференціального рівняння

. (2.58)

Другий – . В цьому випадку , тобто . Тому

. (2.59)

Заміною диференціальне рівняння (2.59) приводимо до рівняння з відокремленими змінними

Лінійні рівняння першого порядку.

Диференціальне рівняння вигляду

(2.62)

називається лінійним диференціальним рівнянням першого порядку.

При воно називається однорідним

(2.63)

так як його ліва частина лінійна і однорідна відносно і . Рівняння (2.62) при називається неоднорідним. Диференціальне рівняння (2.63) інтегрується в квадратурах, так як воно являється диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними

.

Звідки

. (2.64)

Якщо то

.

3Рівняння які зводяться до лінійних. Рівняння Бернулі та Ріккаті.

Рівняння Рікатті — звичайне диференціальне рівняння виду: де   — неперервні на деякому інтервалі I функції. Окремий випадок рівняння: івнянняРіккаті допускає відшукання загального розв'язку в елементарних функціях, якщо   або  , деn — ціле число. при всіх інших значеннях   це рівняння вже не можна зінтегрувати в квадратурах. Рівняння Ріккаті завжди можна зінтегрувати в квадратурах, якщо вдалося знайти хоча б один його частинний розв'язок.

Якщо y₁ — частинний розв'язок рівняння, то заміна змінних y = y₁ + u де u — нова невідома функція незалежної змінної x, зводить це рівняння до рівняння Бернуллі.

Підставивши в (*) y = y₁ + u, дістанемо

Але   . Тому рівняння для нової змінної у має вигляд:

 Це — рівняння Бернуллі.