13. Алгебраическая и геометрическая кратности собственных значений и их взаимосвязь.

Алгебраическая кратность собственного числа - его кратность, как корня характеристического многочлена.

Геометрическая кратность собственного числа - размерность его собственного подпространства ker(A- λI).

Из критерия собственного значения следует, что геометрическая кратность собственного числа строго положителя., а так же то, что геометрическая кратность не превосходит алгебраическую. Отсюда следует, что если алгебраическая кратность равно 1, то геометрическая тоже равна 1.

14. Критерий диагонализируемости матрицы линейного оператора, достаточные условия диагонализируемости линейного оператора.

Критерий: Матрица Ае оператора АL(Vn) в базисе[e} имеет диагональный вид тогда и только тогда, когда базисные вектораe1,e2,…en являются собственными векторами оператора А. При это матрица Ае в базисе из собственных векторов имеет вид:, гдеλ – собственные значения оператора А:

Док-во: Достаточность. Если базис[e] состо из из собственных векторов оператора А, т.е.Aek = λkek, то согласно определению матрицы линейного оператора имеетAe – диагональную матрицу изλ1…n..

Необходимость. Пусть матрица Ау линейного оператора А в данном базисе [e] имеет вид диагональной матрицы изλ1…n. Тогда очевидно, для любогоi=1….n Аei =λiei, теe1,e2,…en – собственные вектора аλ1,λ2,λ3….λn – собственные значения оператора А. Чтд.

15. Теорема Гамильтона-Кэли

Многочлен p(λ)переменной λ называется аннулирующим для квадратной матрицы A, если при подстановке в многочлен матрицы A вместо переменной λ получаем нулевую матрицу, т.е. p(A)=O.

Для любой квадратной матрицы А многочлен называется характеристическим.

Теорема:Характеристический многочлен матрицы является аннулирующим для нее, т.е.

Док-во: Обозначим черезматрицу, присоединенную к характеристической матрице. Тогда из теоремы следует

Правые части этих равенств можно рассматривать как многочлены с матричными коэффициентами (каждый коэффициент характеристического многочлена умножается на единичную матрицу). Из равенства выше следует, что λ-матрица делится на (A-λE)слева и справа без остатка, т.е. остаток равен нулевой матрице. Пообобщенной теореме Безуостаток равен левому и правому значениям многочленапри подстановке матрицы A вместо A. Отсюда получаем=0, т.е., что и требовалось доказать.