5. Изоморфизм лп. Критерий изоморфности лп.

Два комплексных (вещественных) линейных пространства V иV’называютсяизоморфными, если между их элементами можно установить такое взаимно однозначное соответствие, при котором сумме векторов пространстваVбудет отвечать сумма соответствующих векторов пространства V', а произведению какого-либо числаλ на вектор пространстваV будет отвечать произведение того же числа на соответствующий вектор пространстваV’

Критерий: Если V иV’ – конечномерные линейные пространства, тоV иV’ изоморфны тогда и только тогда, когда у них одинаковая размерность.

6. Подпространство лп и линейные оболочки систем векторов. Размерность линейной оболочки.

Множество L элементов линейного пространстваV называетсялинейным подпространствомпространстваV если выполняется следующее условие: для любых чиселλ, u и любых элементовx иy изL элементλx+uy также принадлежитL.

Пусть x1,x2,..xm – совокупность элементов линейного пространстваV. Множество всевозможных линейных комбинаций видаa1x1+a2x2+….+amxm (a1,a2,..am – произвольные числа) называетсялинейной оболочкойданной системы элементов и обозначается символомL(x1,x2,…,xm)

Теорема:Размерность линейной оболочкиL(x1,x2,…,xm) равна максимальному числу линейно независимых элементов в системеx1,x2…xm.

Док-во: Пусть максимальное число линейно независимых элементов в системеx1, x2,…, xm равноk(k. Без ограничения общности можно считать, что элементыx1,x2,…xk линейно независимы. Тогда любой из элементовx(k+1),x(k+2)…xm представляет собой некоторую линейную комбинацию элементовx1,x2,…xk. Так как любой элементh линейной оболочкиL(x1,x2,..,xm) по определению представляет собой некоторую линейную комбинацию элементовx1, x2,…xk…xm, то в силу только что отмеченного свойства элементовxk+1, xk+2… xm указанный элементh является линейной комбинаций одних только элементовx1,x2,….xk. Но это означает, что система линейно независимых элементовx1,x2…xk образует базис подпространстваL(x1,x2…xm) и справедливость теоремы следует из теоремы о связи между понятиями базиса и размерности линейного пространства. Чтд

7. Теорема о пополнении базиса

Пусть система e1,e2,…ek (k) n-мерного линейного пространстваV линейно независима. Тогда существуют элементыek+1,…en пространстваV, такие, что система элементов e1,e2,…ek, ek+1,…en образуют базис пространстваV.

Док-во: При k=n утверждение теоремы очевидно. Пустьk<n, тогдаL(x1,x2,…,xn)<dimV и следовательноL(x1,x2,….xk). Тогда существует элементek+1 пространства V, не принадлежащий линейной оболочкеL(x1,x2,…xk). Из определения подпространства следует, что элементыe1,e2,…ek,ek+1линейно независимы. Еслиk+1=n, то теорема доказана. Если жеk+1, то повторяя рассуждение получаемek+2 для которого e1,e2,…ek+2 линейно независимы. Продолжая процесс черезn-k шагов, построим все элементыek+1,….en такие, чтоe1,e2,…ek,ek+1,….,en образуют базис всего пространстваV. Чтд.

8. Пересечение и сумма подпространств, прямая сумма подпространств. Теорема о размерности суммы подпространств.

Пусть в линейном пространстве V заданы два подпространства U1 иU2. Пересечениемподпространств называется совокупностьU0=U1элементов, входящих одновременно вU1 иU2.

СуммойподпространствU1 иU2 операция суммы называется совокупностьU’=U1+U2 элементов, представимых в виде:x=x1+x2, где x1 элементUi.

Прямой суммой подпространств своих подпространствL1,…Ln является пространствоL, если каждый векторλ принадлежитL однозначно представляется в виде

Теорема ЕслиU1 иU2 – подпространстваV, то dim(U1+U2)=dimU1+dimU2-dim(U1.