27. Монотонні функції.

Моното́нна фу́нкція — це функція, приріст якої не змінює знаку, тобто завжди або невід’ємний, або недодатній. Якщо при цьому приріст ще і не дорівнює нулю, то функція називається стро́го моното́нною.

Означення

Приклад незростаючої функції

Нехай дано функцію   Тоді

функція f називається зроста́ючою на M, якщо

.

функція f називається стро́го зроста́ючою на M, якщо

.

функція f називається спадною на M, якщо

.

функція f називається стро́го спадною на M, якщо

.

Приклад неспадної функції

(Строго) зростаюча чи спадна функція називається (строго) монотонною

28.Основні види матриць

Визначення матриці. Матрицею називається прямокутна таблиця з чисел, що містить деяку кількість m рядків і деяку кількість n стовпців. Основні поняття матриці: Числа m і n називаються порядками матриці. У випадку, якщо m = n, матриця називається квадратною, а число m = n - їїпорядком. У подальшому для запису матриці будуть застосовуватися позначення:

Хоча іноді в літературі зустрічається позначення:

Втім, для короткого позначення матриці часто використовується одна великабуква латинського алфавіту, (наприклад, А), або символ | | aij | |, а іноді і зроз'ясненням: A = | | aij | | = (aij) (i = 1, 2 ,..., m; j = 1,2, ... n) Числа aij, що входять до складу даної матриці, називаються її елементами. У записі aij перший індекс i означає номер рядка, а другий індекс j - номерстовпця. Наприклад, матриця

це матриця порядку 2 × 3, її елементи a11 = 1, a12 = x, a13 = 3, a21 =- 2y, ... Отже, ми ввели визначення матриці. Розглянемо види матриць і дамовідповідні до них визначення.

Види матриць

Введемо поняття матриць: квадратних, діагональних, одиничних і нульових. Визначення матриці квадратної: Квадратної матрицею n-го порядку називаєтьсяматриця розміру n × n. У разі квадратної матриці

вводяться поняття головної і побічної діагоналей. Головною діагоналлю матриціназивається діагональ, що йде з лівого верхнього кута матриці в правий нижнійїї кут.

Побічної діагоналлю тієї ж матриці називається діагональ, що йде з лівогонижнього кута в правий верхній кут.

Поняття діагональної матриці: діагональної називається квадратна матриця, у якої всі елементи поза головною діагоналі дорівнюють нулю.

Одиничної (позначається Е іноді I) називається діагональна матриця з одиницями на головній діагоналі.

Нульова матриця в якій всі елементи рівні нулю.

Дві матриці А і В називаються рівними (А = В), якщо вони однакового розміру (тобто мають однакову кількість рядків і однакову кількість стовбців та їхвідповідні елементи рівні). Так, якщо

то А=B, если a₁₁=b₁₁, a₁₂=b₁₂, a₂₁=b₂₁, a₂₂=b₂₂

_29. Найбільше і найменше значення функції, поняття математичного аналізу. Значення, що приймається функцією в деякій точці безлічі, на якій ця функція задана, називається найбільшим (найменшим) на цій безлічі, якщо ні в якій іншій точці безлічі функція не має більшого (меншого) значення. Н. і н. з. ф. в порівнянні з її значеннями у всіх досить близьких крапках називаються екстремумами (відповідно максимумами і мінімумами) функції. Н. і н. з. ф., заданою на відрізку, можуть досягатися або в крапках, де похідна дорівнює нулю, або в крапках, де вона не існує, або на кінцях відрізання. Безперервна функція, задана на відрізку, обов'язково досягає на нім найбільшого і найменшого значень; якщо ж безперервну функцію розглядати на інтервалі (тобто відрізку з виключеними кінцями), то серед її значень на цьому інтервалі може не виявитися найбільшого або найменшого. Наприклад, функція в = x , задана на відрізку [0; 1], досягає найбільшого і найменшого значень відповідно при x = 1 і x = 0 (тобто на кінцях відрізання); якщо ж розглядати цю функцію на інтервалі (0; 1), то серед її значень на цьому інтервалі немає ні найбільшого, ні найменшого, оскільки для кожного x 0 завжди знайдеться точка цього інтервалу, лежача правіше (лівіше) x 0 , і така, що значення функції в цій крапці буде більше (відповідно менше), ніж в точці x 0 . Аналогічні твердження справедливі для функцій багатьох змінних.

30. Область визначення — множина допустимих значень аргументу функції. Позначається як D(y), якщо вказується область визначення функції y=f(x).

Якщо задані: числова множина   та правило  , що дозволяє поставити у відповідність кожному елементу   з множини  певне число, то говорять, що задана функція   з областю визначення  .

Тобто, визначення області значень є необхідною умовою визначення функції.

Визначення. Значення змінних, на яких задається функція  , називають допустимими значеннями змінних.

Визначення. Значення змінних, при яких алгебраїчний вираз   має зміст, називають допустимими значеннями змінних.Множину всіх допустимих значень змінних називають областю допустимих значень змінних  .

Визначення. Областю визначення рівняння   називають множину всіх тих значень зміної x, при яких алгебраїчні вирази   і   одночасно мають зміст.

Якщо функція задана формулою, то область визначення складається зі всіх значень незалежної змінної, при яких формула має зміст.