29. Интегрирование рациональных функций.

Интегрирование рациональных функций сводится к разложению дроби на простейший и проинтегрировав каждое слагаемое. P(x)/Q(x)

Для интегрирования рациональной функции , где P(x) и Q(x) - полиномы, используется следующая последовательность шагов:

1. Если дробь неправильная (т.е. степень P(x) больше степени Q(x)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение;

2. Разложить знаменатель Q(x) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений;

3. Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов;

4. Вычислить интегралы от простейших дробей.

30. Интегрирование простейших иррациональностей.

1. Если подынтегральная функция содержит лишь линейную иррациональность

 ,то полезна подстановка

         2. Интеграл от простейшей квадратной иррациональности

вычисляется с помощью дополнения квадратного трехчлена до полного квадрата и сводится к одному из двух интегралов типа

,которые вычисляются подстановкой Эйлера: , где t- новая переменная.

То есть

х² + a = t² - 2×t×x + x²   или  a = t² - 2×t×x.

 Возьмем дифференциал от обеих частей, получим da = 0 = 2tdt - 2xdt - 2tdx или tdx = (t - x)dt, тогда

, то есть  .

Таким образом,

.

                                               

 .                                                             

31. Биномиальный интеграл.

Биномиальным дифференциалом наз-ся выражение , где m, n и p - рациональные числа.

Интеграл от биномиального дифференциала приводится к интегралу от рациональной функции в следующих трех случаях.

Случай 1. Показатель степени p - целое число. Тогда интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки , где q - общий знаменатель дробей m и n.

Случай 2. Число - целое. Тогда сводится к интегралу от рац.функции с помощью подстан. , r - знаменатель дроби p.

Случай 3. Число - целое. Тогда интеграл рационализируется с помощью подстановки , где r - знаменатель дроби p.

32. Интегрирование функции .

Рассмотрим интегралы вида . Такие интегралы могут быть сведены к интегралам от рациональных функций заменой переменной , где . Действительно , ,

36. понятие определенного интеграла.

если существует конечный предел I интегральной суммы при лямда стремящейся к 0, то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) по отрезку а,б и обозначается: I=интеграл (от а до б) f(x)dx . В этом случае функция f(x) называется интегрируемой на а,б. Числа а и б –нижним и верхним пределами интегрирования, f(x)-подынтегральная функция, х-переменной интегрирования.

37. Основные свойства определенного интеграла.

38. Основные условия интегрируемости функций.

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

Теорема. Если функция интегрируема на отрезке, то она ограничена на нем.

Теорема. Функция определенная и монотонная на [a,b] интегрируема на нем.

Теорема. Если функция ограничена и непрерывна на отрезке, кроме, может быть, конечного числа точек, то она интегрируема на нем.

40. Формула Ньютона-Лейбница.

интеграл от а до b f(x)dx = F(b)-F(a)

41.Замена переменной в определенном интеграле.

Теорема. Пусть функция имеет непрерывную производную на отрезке , , и функция f(x) непрерывна в каждой точке x вида , где . Тогда справедливо следующее равенство .

42.Вычисление определенного интеграла по частям.

Теорема. Пусть функции и имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда .

43. Вычисление площади плоской фигуры.

S= интеграл от а до б f(x)dx = F(x) от а до б=F(b)-F(a)

44. Вычисление объема тела вращения.

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривойy=f(x), осью абсцисс и двумя прямыми x=a и x=b , находится по формуле.

45. Вычисление длины дуги плоской кривой.

Если кривая y=f(x) на отрезке является гладкой (т.е. производная y’=f’(x) - непрерывная функция), то длина дуги этой кривой, заключенной между точками с абсциссами x=a и x=b , находится по формуле L= интеграл от а до б по корнем 1+ ( f’(x))² dx

46 Вычисление площади поверхности тела вращения.

Площадь поверхности, образованной вращением оси Ox дуги гладкой кривой y=f(x) между точками x=a и x=b , находится по формуле . 1+ ( f’(x))²

47. Среднее значение функции. Интегральная теорема о среднем.

Если функция f(x; у) непрерывна на области Р, то существует такая точка (а; b) Р , что Среднее значение функции — это некоторое число, заключённое между наименьшим и наибольшим её значениями.

50. Интегрирование функций, заданных на бесконечном интервале.

Определение. Несобственным интегралом от функции f(x) на полуинтервале называется предел функции при t, стремящемся к , т.е. .

51. Понятие функции нескольких переменных.

Определение. Величина u называется функцией нескольких независимых переменных (x, y, z, …,t), если каждой совокупности значений этих переменных ставится в соответствие определенное значение величины u.

Если переменная является функцией от двух переменных х и у, то функциональную зависимость обозначают

z = f (x, y).

54. Непрерывность функции нескольких переменных

Пусть функция n переменных u = f(x) = f(x₁, x₂,  … , x_n) определена в некоторой окрестности точки a = (a₁, a₂,  … , a_n) О Rⁿ (включая саму точку a).

Определение 1. Функция u = f(x) называется непрерывной в точке a, если

lim x → a  f(x) = f(a).

55.

56. частные производные функции нескольких переменных

Частной производной функции z=f(x,y) по аргументу x называется предел отношения частного приращения функции к соответствующему приращению аргумента Dx, когда DxÞ0.

,                      

аналогично и по переменной y

,                         

кроме того, частные производные могут обозначаться как:

.

57. Частные производные высших порядков.

Порядок дифференцирования не важен. Формула.

d²z/dx²=d/dx(dz/dx)=z’’xx -производная второго порядка

d²z/dу²⁼ z’’уу

d²z/dxdy= z’’xy и наоборот- смешанные производные второго порядка

59. Дифференциал функции двух переменных первого и высших порядков.

Определение. Дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных, т.е. .

60. Максимум и минимум функции 2-х переменных

Определение. Точка x₀ называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки x₀ выполняется неравенство .

Определение. Точка x₁ называется точкой минимума функцииf(x), если в некоторой окрестности точки x₁ выполняется неравенство .

61. Векторы, действия с векторами, линейное векторное пространство.

Векторы- упорядоченная совокупность конечного количества действительных чисел.

Действия: 1.Умножение вектора на число: лямда*вектор х=(лямда*х₁, лямда*х₂… лямда*х_n).(3,4, 0, 7)*3=(9, 12,0,21)

2.Сложение векторов (принадлежат одному и тому же векторному пространству) вектор х+вектор у = (х₁+у_1, х₂+у_2,… х_n+у_n,)

3. Вектор 0=(0,0…0)---n Eⁿ – n-мерное (линейное пространство) вектор х +вектор 0 = вектор х

Теорема. Для того чтобы система n векторов, n- мерного линейного пространства была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы один из векторов были линейной комбинацией остальным.

Теорема. Любая совокупность n+ 1ого вектора n- мерного линейного пространства явл. линейно зависимой.

62.Линейная комбинация векторов.

  Сама сделаю

63. определение матрицы, умножение, умн. На число. произведение

Определение. Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, содержащая строк и столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Для умножения матрицы на число необходимо каждый ее элемент умножить на число.

Умножение. А+В=С Сопряженные матрицы- число столбцов 1 матриц= числу строк 2 матрицы, умножать можно только такие матрицы

64. Квадратные матрицы. Определитель квадратной матрицы. Способы вычисления определителей.

Если А – квадратная то А²= А*А=В (n*n) A(m*n)*0(n*k)=0(m*k)

detA= определитель A (показать на примере) A_ij =(-1)^i+j*M_ij – алгебраическое дополнение элемента а_ij квадратной матрицы А

Способы вычисления: Определительно не меняет свое значение от прибавления ко всем эл. Какой-либо строки или столбца, соответств. Эл. Другой строки или столбца, умноженных на одно и тоже число.

65. Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными  в линейной алгебре — это система уравнений вида

Здесь — количество уравнений, а — количество неизвестных. x1, x2, …, xn — неизвестные, которые надо определить. a11, a12, …, amn — коэффициенты системы — и b1, b2, … bm — свободные члены — предполагаются известными[

СЛАУ- совместные (хотя бы одно решение),---определенные(1 решение), неопределенные (беск количество решений)

несовместные (решений нет)