20. Раскрытие неопределенности по правилу Лопиталя.

Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле.

Итак, если имеется неопределенность вида или , то . Следовательно, предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.

21. Экстремум функции, точки перегиба, асимптоты.

точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Определение. Точка x₀ называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки x₀ выполняется неравенство . Определение. Точка x₁ называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство .

Теорема. Для того чтобы функция y=f(x) имела экстремум в точке x₀, необходимо и достаточно, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю или не существовала.

Определение. Функция y=f(x) называется выпуклой вниз на промежутке Х, если для любых двух значений x₁, из этого промежутка выполняется неравенство .

Определение. Функция y=f(x) называется выпуклой вверх на промежутке Х, если для любых двух значений x₁, из этого промежутка выполняется неравенство .

Определение. Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервал, в которых функция выпукла вниз и вверх.

Прямая линия называется асимптотой графика функции f(x), если расстояние от точки M, лежащей на графике, до этой прямой стремится к нулю при движении точки по графику в бесконечность.

Прямая x= x₀ называется вертикальной асимптотой графика функции f(x), если хотя бы одно из предельных значений или равно или .

Прямая y=A называется горизонтальной асимптотой графика функции f(x) при , если .Прямая называется наклонной асимптотой графика функции f(x) при Теорема. Для того чтобы функция f(x) имела при наклонную асимптоту , необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела и .

22. Правила исследования функций. Найти область определения функции. Исследовать функцию на четность и нечетность.

Найти вертикальные асимптоты. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба. Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

23. Понятие первообразной, основные свойства

Определение. Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на промежутке X, если в каждой точке x этого промежутка Задана F(x), неприрыв. на (а, b), тогда F(x) первообразная.

Свойства: 1.интеграл F(x)=F(x)+c, 2. интеграл kf(x)dx=k интеграл f(x)dx k=const 3. интеграл (f(x)+-g(x))dx= интеграл f(x)dx+- интеграл g(x)dx

24. Интегрирование способом подстановки.

f(x)dx= _{x= g(t)}= f(g(t))g’(t)dt dx=dg(t) dx=g’(t)dt

Такое преобразование интеграла называется интегрированием подстановкой (замена переменных).

25. Метод интегрирования по частям (с выводом)

26. Основные табличные интегралы.. сама напишу

27. Разложение действительного многочлена на множители.

Теорема. Если и - корни квадратного уравнения, то справедливо следующее разложение . Разложить многочлен на множители означает представить его в виде произведения многочленов. Для этого используют различные приемы.

Вынесение общего множителя за скобку:

Группировка слагаемых: .

Формулы сокращенного умножения: , ,

28. Разложение рациональной функции на простейшие дроби.

Когда степень многочлена знаменателя дроби равна нулю (т.е. в знаменателе стоит число), дробь является многочленом. По теореме известно, что любой многочлен может быть разложен на множители.

Если степень знаменателя дроби больше нуля и степень числителя меньше степени знаменателя, то дробь можно представить в виде простейших дробей. Если степень числителя больше дроби знаменателя, то необходимо выполнить деление многочлена на многочлен «углом».

Если дробь неправильная (т.е. степень P(x) больше степени Q(x)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение;

Разложить знаменатель Q(x) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений;

Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициэнтов;

Вычислить интегралы от простейших дробей.