12. Производная функции. Геометрический смысл производной.

Определение. Производной функции по аргументу х называется конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремиться к нулю . Геометрическая производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции в точке х, т. е. у’= tg a. Производная есть скорость изменения функции в точке х.

13. Теоремы о производной суммы, произведения и частного.

1. Производная постоянной равна нулю, т.е. .

.

.

14. Производная сложной и обратной функции. Понятие о логарифмической производной.

Теорема. Если и - дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной , т.е. .y’=f’U*U’x

Теорема. Для дифференцируемой функции с производной, не равной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, т.е. . Логарифмическая произво́дная — производная от натурального логарифма функции.

15. Дифференциал, связь дифференциала и приращения функции.

Определение. Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной .

Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции y=f(x) в данной точке, когда x получает приращение .

Свойства дифференциала: . . . . .

16. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.

Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производной функции f и обозначается f". f"(x) = (f'(x))'. Производные, начиная со второй – производные высших порядков.

Формулой Лейбница в интегральном исчислении называется правило дифференцирования под знаком интеграла, зависящего от параметра, пределы которого зависят от переменной дифференцирования. y⁽ⁿ⁾=(uv) ⁽ⁿ⁾= u⁽ⁿ⁾v+nu^(n-1)v’+n(n-1)/2!*u^(n-2)v’’+…+n(n-1)…(n-k+1)/k!*u^(n-k)v^(k)+…+uv⁽ⁿ⁾.

Пусть функция f(x) дифференцируема в каждой точке ч некоторого промежутка. Тогда ее дифференциал dy=f’(x)dx.

d²y=f’’(x)(dx)² дифференциал второго порядка. Следовательно: dⁿy=y⁽ⁿ⁾(x)(dx)ⁿ, n=1,2…

17. Производные основных элементарных функций. сама напишу.

18. Теорема Роля. Теорема Лагранжа.

Теорема Роля. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема в интервале и принимает равные значения на его концах, т.е. , то в интервале найдется по крайне мере одна точка такая, что .

Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема в интервале , то в этом интервале найдется по крайне мере одна точка такая, что .

19. Теорема Коши. Формула Тейлора и Маклорена.

Теорема Коши. Если функции и непрерывны на отрезке и дифференцируемы в интервале , причем , то в этом интервале найдется по крайне мере одна точка такая, что .

Формула Тейлора. Пусть функция f(x) имеет в точке a и некоторой ее окрестности производные порядка n+1. Пусть x - любое значение аргумента из указанной окрестности, . Тогда между точками a и x найдется точка m такая, что справедлива формула Тейлора .

Формула Маклорена. Называют формулу Тейлора при а=0. f(x)=f(0)+f’(0)/1!*x+f’’(0)/2!*x²+…+f⁽ⁿ⁾(0)/n!*xⁿ+R_n+1(x)