6.Классификация основных элементарных функций.

Основные элементарные функции:

1. постоянная функция f(x)=C, C- const 2.Степенная функция: 3. Показательная функция: . 4. Логарифмическая функция: .5. Тригонометрические функции , , , . 6. Обратные тригонометрические функции: , , , .

Классификация функций: Алгебраические (целая рациональная функция, дробно-рациональная функция, иррациональная функция). Неалгебраические (трансцендентные).

7.Предел функции. Теоремы о пределах. Замечательные пределы.

Определение. Число называется пределом функции f(x) при x=x₀ (или при x --x₀), если для любой сходящейся к x₀ последовательности (1) значение аргумента х, отличных от x₀ , соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к чису А. (x- x₀)lim f(x)=A

.

Теоремы о пределах:

1.Первое и второе определения предела функции эквивалентны.

2.Функция f(x) имеет в точке x₀ предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют как правый, так и левый предел, и они равны. В этом случае предел равен односторонним пределам.

3.Пусть функции f(x) и f(g) имеют в точке x₀ пределы В и С. Тогда функции f(x) _-+ f(g), f(x) */f(g) (при С не равным 0) имеют в точке x₀ пределы, равные соответственно В+-*/С.

Замечательные пределы. Lim(x-0) sinx/x=1 зам. Тригонометр. Lim(x-беск) (1+1/х)^х=е зам. Показ.-степенной

8.Односторонние пределы. Несобственные пределы. Если значение функции стремится к числу по мере стремления к со стороны меньших значений, то число называют левосторонним пределом функции в точке и пишут .Если значение функции стремится к числу по мере стремления к со стороны больших значений, то число называют правосторонним пределом функции в точке и пишут .

9.Непрерывность функции в точке.

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если она удовлетворяет следующим трем условиям: 1) определена в точке (т.е. существует ); 2) имеет конечный предел функции при ; 3) этот предел равен значению функции в точке , т.е. .

Свойства функций, непрерывных в точке: 1.Если функция и непрерывны в точке , то их сумма , произведение и частное (при условии ) являются функциями, непрерывными в точке . 2. Если функция непрерывны в точке и , то существует такая окрестность точки , в которой . 3. Если функция непрерывны в точке , а функция непрерывны в точке , то сложная функция непрерывна в точке .

10 Непрерывность функции в интервале. Действия с непрерывными функциями

Определение. Функция называется непрерывной на промежутке , если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Свойства функций, непрерывных на отрезке:1.Если функция непрерывна на отрезке , то она ограниченна на этом отрезке. 2. Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке наименьшего значения и наибольшего значения . +-*:

11. Разрывы функций. Классификация разрывов.

Определение. Точка называется точкой разрыва функции , если эта функция определена в некоторой окрестности точки , но в самой точке не

удовлетворяет условию непрерывности.

Точки разрыва функции делятся на два типа: 1. к точкам разрыва I рода относятся такие точки, в которых существуют конечные односторонние пределы , . 2. к точкам разрыва II рода относятся те точки, в которых хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен.

Точки разрыва I рода подразделяются на точки устранимого разрыва (когда ) и точки скачка (неустр.) функции (когда ).