1. Последовательности. Определение,

способы задания, действия с последовательностями.

Последовательностью (бесконечной) называется функция, область определения которой — множество натуральных чисел.

Определение. Если по некоторому закону каждому натуральному числу поставлено в соответствие вполне определенное число , то говорят, что задана числовая последовательность : .

Числа называются членами последовательности, а число - общим или членом последовательности.

способы задания: 1- словесный. Он используется, когда правило задания последовательности описано словами, не указывая формулы.

2- аналитический. Когда числовая последовательность задана формулой n-ного члена. y_n=n² 1, 4, 9,

Возможно также рекуррентное задание последовательности, когда следующий член последовательности задается на основании предыдущего. (арифметическую и геометрическую прогрессию)

Последовательность Фибоначи: каждый последующий её член равен сумме двух предыдущих 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...

Действия с последовательностями: + - *: (a1 + b1), (a2 + b2), (a3 + b3), ..., (an + bn), ..., {an} + {bn},

2.Предел последовательности. Сходимость.

В математике пределом последовательности называют объект, к которому члены последовательности в некотором смысле стремятся или приближаются с ростом номера.

Число а называется пределом последовательности {x_n}, если для любого положительного числа ε существует номер N такой, что при n > N выполняется неравенство .

Предел числовой последовательности обозначается или при . Последовательность, имеющая предел, называется сходящийся, в противном случае – расходящейся.

3.Свойства сходящихся последовательностей.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящийся, в противном случае – расходящейся.

1. Если все элементы бесконечно малой последовательности {x_n} равны одному и тому же числу с, то с=0.

2. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

3. Сходящаяся последовательность ограничена.

4. Сумма (разность) двух сходящихся последовательностей {x_n} и {у_n} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме(разности) пределов последовательностей {x_n} и {у_n}.

5. Произведение сходящихся последовательностей {x_n} и {у_n} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей {x_n} и {у_n}.

6. Частное двух сходящихся последовательностей {x_n} и {у_n} при условии, что предел {у_n} отличен от 0, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей {x_n} и {у_n}.

4. Признаки сходимости последовательностей.

Теорема. Если числовая последовательность монотонна и ограниченна, то она имеет предел.

Теорема. Если в некоторой окрестности точки (или при достаточно больших значениях ) функция заключена между двумя функциями и , имеющими одинаковый предел при , то функция имеет тот же предел .

5. Определение функции. Способы задания функции.

Определение. Если каждому элементу множества ставится в соответствие вполне определенный элемент множества , то говорят, что на множестве задана функция .

Основные свойства функции:

Четность и нечетность. Функция называется четной, если для любых значений из области определения и нечетной, если .

Монотонность. Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке , если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.

Ограниченность. Функция называется ограниченной на промежутке , если существует такое положительное число , что для любого .Периодичность. Функция называется периодической с периодом , если для любых из области определения функции . Способы задания функций: Аналитический способ, Табличный способ , Графический способ