3.3 Задача комівояжера

Далі розглянемо іншу задачу, яку можна розв’язати за допомогою методугілок та меж.

Постановка задачі. Маємо n міст, комівояжер повинен відвідати кожне з міст тільки один раз і повернутися в перше. Його маршрут повинен мінімізувати сумарну довжину ( або вартість) пройденого шляху. В теорії графів такий шлях називається гамільтоновим контуром. Тобто задача комівояжера – це знаходження гамільтонового контуру мінімальної довжини.

Мінімізується функція де Х – множина всіх припустимих маршрутів, тобто гамільтонових контурів, c_ij – вага дуги (i,j) (довжина або вартість шляху). Будемо вважати крім того, що c_ii = ∞,

c_ij = ∞, якщо немає шляху з пункту і в пункт j.

Сформулюємо загальну схему розв’язання задачі.

Маємо матрицю С = (c_ij ), де c_ij – вага дуги( i,j). Віднімаємо з усіх елементів кожного рядка матриці С мінімальний елемент цього рядка, далі в матриці, що одержана, від усіх елементів кожного стовпця віднімаємо мінімальний елемент цього стовпця. Матриця, що виникає, називається зведеною, позначимо її , крім того позначимо через – мінімум в рядку і; – мінімум у стовпці j; – назвемо константами зведення, i,j=1,2,…,n.

Для будь-якого гамільтонового контуру виконується наступне:

У якості ρ(х) вибираємо , і тоді виконуються вимоги, які накладаються на оцінку ρ(х), ρ(х) ≤ f(x).

Після операції зведення довжина всіх гамільтонових шляхів зменшуються на одну й ту ж величину, тому оптимальний гамільтонів контур, знайдений з використанням зведеної матриці, буде оптимальним і для початкової матриці.

Множину X ми повинні галузити. Множина Х₁₁ складається з уcіx гамільтонових контурів із X, що не містять деякої дуги (r,s). Множила Х₁₂ складається з ycix гамільтонових контурів з X, що містять дугу (r,s).

Правило вибору дуги (r,s) полягає в наступному: оцінку ρ(Х₁₂) прагнуть зробити меншою, оцінку ρ(Х₁₁) – більшою з метою збільшити ймовірність подальшого галуження множини Х₁₂. Бажання зменшити оцінку ρ(Х₁₂) означає, що кандидатами на вибір дуги (r,s) можуть бути лише ті дуги, яким у зведеній матриці відповідають нульові елементи. Їх може бути декілька. Тоді знайдемо суму констант зведення кожного з нульових елементів матриці . Позначимо цю суму для елемента (i,j) через Θ(і, j). Як дугу (r,s) вибираємо таку, для якої оцінка знизу максимальна, тобто Θ(r,s) =max Θ (i,j).

Наступний етап – побудова зведених матриць i обчислення оцінок знизу.

Замінимо в матриці нульовий елемент, що відповіднє дузі (г,s), на ∞. Нову матрицю позначимо С₁. Зведена матриця відстаней для гамільтонових контурів із Х₁₁, що не містять дуги (r,s), одержується зведенням матриці C₁. Сума констант зведення для матриці С₁ дорівнює Θ(r,s).

Оцінка знизу для функції f(x) на множині Х₁₁ така: ρ(Х₁₁) = ρ(Х) + Θ(r,s).

Гамільтонові контури з Х₁₂ містять дугу (r,s). Викреслимо в матриці рядок i стовпець, що відповідають дузі (рядок відповідає місту r і стовпець відповідає місту s), Елемент, що відповідає дузі (s,r), замінюємо на ∞ (назад із s в r їхати не можна).

Отриману матрицю позначимо С₂ (її розмір менше, ніж у попередньої). Зведена матриця відстаней для контурів з X₁₂ одержується зведенням матриці С₂. При цьому оцінка знизу ρ(Х₁₂) = ρ(Х) + τ(r,s), де τ(r,s) – сума констант зведення матриці С₂.

Якщо в кожному рядку і стовпцю матриці С₁ або С₂ виявилося лише по одному елементу, відмінному від ∞, тоді множина X₁₁ (або Х₁₂) містить єдиний маршрут, довжина якого дорівнює ρ(Х₁₁) (або ρ(Х₁₂)).

Приклад. ( Задача комівояжера).

Є 5 міст. Дана матриця відстаней (вартості):

Потрібно знайти гамільтонів контур найменшої довжини.

Розв’язання.

І етап – операція зведення.

.

ІІ етап – операція галуження.

Галуження треба проводити за дугою (5,3):

ІІІ етап – побудова зведених матриць.

.

Кінцеві множини першого кроку Х₁₁ і Х₁₂. Галуженню підлягає Х₁₂ ( з мінімальною оцінкою).

Зведемо матрицю С₂:

Галуження буде за дугою (4,2).

Галуженню підлягає Х₂₂ за дугою (3,4):

Галуженню підлягає Х₃₂ за дугою (2,1):

Побудуємо отримане дерево:

Запишемо гамільтонів контур:

f(x) = 6+7+1+10+10 =34.

Питання для самоперевірки

1. В чому полягає метод гілок та меж?

2. По якому принципу відбувається галуження множини розв’язків?

3. Якій умові повинна відповідати оцінка множин ?

4. Сформулюйте постановку задачі про рюкзак.

5. Яке припущення відносно речей, що кладуть в рюкзак, ми робимо під час розв’язання задачі методом гілок та меж?

6. Сформулюйте постановку задачі комівояжера.

7. У чому полягає алгоритм розв’язання задачі комівояжера?

Задачі для самостійної роботи

1. Розв’язати задачу про рюкзак.

Маємо 5 предметів, де − вартість i-го предмета, − вага i-го предмета.

Дані про предмети наведені в таблиці:

Варіант А

С=40

Варіант Б

C=45

2. Розв’язати задачу комівояжера при заданій матриці відстані.

Варіант А Варіант Б