5.1 Платіжна матриця. Нижня та верхня ціна гри

Розглянемо парну кінцеву гру. Нехай гравець А має m особистих стратегій, які позначають А₁, А₂,…, А_m. У гравця В є n особистих стратегій, позначимо їх В₁, В₂,…, В_n. В цьому випадку кажуть, що гра має розмір . В результаті вибору гравцями будь-якої пари стратегій А_i і В_j (i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n) однозначно визначається результат гри, тобто виграш a_ij гравця А (додатній або від’ємний) і програш (–a_ij) гравця В. Припустимо, що значення a_ij відомі для будь-якої пари стратегій (А_i, В_j). Матриця Р = (a_ij), (i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n) називається платіжною матрицею, або матрицею гри. Загальний вигляд такої матриці:

.

Приклад. Гра «вірю – не вірю». Правила гри: Гравець А має на руках 8 карт – 4 тузи і 4 двійки. Він витягує карту, не показуючи її гравцю В, і говорить: «туз» (при цьому він може збрехати, а може сказати правду). Якщо гравець В вірить, то він сплачує гравцю А 1 грн. Якщо гравець В не вірить, то гравець А показує карту і якщо це дійсно «туз», то гравець В платить гравцю А 2 грн. Якщо це «двійка», то гравець А сплачує гравцю В 2 грн. Якщо гравець А витягує «двійку» і говорить правду, то він сплачує гравцю В 1грн.

Розв’язання. У гравця А є дві стратегії: А₁ – правда, А₂ – брехня. У гравця В є дві стратегії: В₁ – вірю, В₂ – не вірю. Складемо матрицю платежів. Вона має вигляд

.

Знайдемо елементи матриці a_ij.

Нагадаємо, що ймовірність витягти «туз» дорівнює 0,5 і ймовірність витягти «двійку» теж дорівнює 0,5. При цьому зауважимо, якщо гравець А твердить, що він витягнув «двійку», то гравцю В не має сенсу не вірити, і якщо гравець витягнув «туз», то йому немає сенсу брехати. Тоді при стратегіях

А₁В₁ : а₁₁ = 0,5·1+0,5·(-1) = 0,

А₁В₂ : а₁₂ = 0,5·2+0,5·0 = 1,

А₂В₁ : а₂₁ = 0,5·0+0,5·1 = 0,5,

А₂В₂ : а₂₂ = 0,5·0+0,5·(-2) = -1.

Таким чином, маємо наступну платіжну матрицю:

.

Далі розглянемо гру з матрицею Р = (a_ij), (i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n) і визначимо найкращу серед стратегій А₁, А₂,…, А_m.

Наведемо міркування гравця А. Вибираючи стратегію А_i, гравець А повинен розраховувати, що гравець В відповість на неї стратегією В_j, для якої виграш для гравця А є мінімальним.

Позначимо через _i – найменший виграш гравця А при виборі ним стратегії А_i для всіх можливих стратегій гравця В (найменше число в і-му рядку платіжної матриці), тобто . Серед всіх чисел _і (i = 1, 2,…, m) виберемо найбільше . Назвемо  – нижньою ціною гри, або максиміном. Це гарантований виграш гравця А при будь-якій стратегії гравці В.

.

Стратегія, що відповідає максиміну, називається максимінною стратегією.

Гравець В зацікавлений у тому, щоб зменшити виграш гравця А. Вибираючи стратегію В_j, він враховує максимально можливий при цьому виграш для А. Позначимо . Серед всіх чисел _j виберемо найменше . І назвемо  – верхньою ціною гри, або мінімаксом. Це гарантований програш гравця В.

Стратегія, що відповідає мінімаксу, називається мінімаксною стратегією.

Встановимо зв’язок між  і . Нехай  досягається на r-й стратегії (тобто  = _r), а  на стратегії s (тобто  =_s). На перетині r-го рядка s-го стовпця знаходиться елемент a_rs. Тоді  ≥ a_rs ≥ . Тобто  ≤ .

Якщо верхня та нижня ціни гри співпадають, то їх спільне значення позначається v і називається чистою ціною гри, або ціною гри. В такому випадку в платіжній матриці існує елемент a_rs , який дорівнює ціні гри, тобто

 = a_rs =  = v.

При цьому гравець А має максимальний гарантований виграш v, який не залежить від поведінки гравця В, якщо застосує стратегію А_r, а гравець В досягне мінімального програшу v (незалежного від поведінки гравця А), якщо застосує стратегію В_s. Кажуть, що розв’язок гри має стійкість, тобто, якщо один з гравців дотримується своєї оптимальної стратегії, то для другого не може бути вигідним відхилення від своєї оптимальної стратегії. Елемент a_rs у цьому випадку називається сідловою точкою.

Позначимо через А* і В* – пару чистих стратегій, на яких досягається розв’язок гри в задачі з сідловою точкою (А*= А_r, В*= В_s). Введемо в розгляд функцію виграшу у першого гравця на кожній парі стратегій: F(А_i, В_j) = a_ij.

Тоді з умови оптимальності у сідловій точці виконується подвійна нерівність:

F(А_i, В*) ≤ F(А*, В*) ≤ F(А*, В_j),

1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.

Дійсно, вибір стратегії А* першим гравцем при оптимальній стратегії В* другого гравця максимізує мінімальний можливий виграш:

F(А*, В*) ≥ F(А_i, В*),

а вибір стратегії В* другим гравцем при оптимальній стратегії А* першого гравця мінімізує максимальний програш:

F(А*, В*) ≤ F(А*, В_j).

Приклад. Визначити нижню і верхню ціну гри, що задана платіжною матрицею:

У даному прикладі

 = max(_i) = 3 ,

 = min(_j) = 3,

 =  = 3.

Таким чином, А₃, В₃ – урівноважені стратегії. Гра має сідлову точку а₃₂ і ціну гри v = 3.