27. Вычисление определителей

Перестановкой порядка n называется упорядоченный набор чисел, состоящий из n элементов. Для множества, содержащего n элементов, существует n! (n факториал) перестановок порядка n. Перестановки отличаются друг от друга лишь порядком следования элементов. Например, рассмотрим множество, состоящее из трех чисел:  . Запишем все перестановки (всего их шесть, так как  ):   Инверсией в перестановке порядка n называется всякая пара индексов p и q, для которой p-ый элемент перестановки больше q-ого. В предыдущем примере инверсией перестановки 4, 9, 7 является пара p = 2, q = 3, так как второй элемент перестановки равен 9 и он больше третьего, равного 7. Инверсией перестановки 9, 7, 4 будут три пары: p = 1, q = 2 (9 > 7); p = 1, q = 3 (9 > 4) и p = 2, q = 3 (7 > 4). Нас будет больше интересовать количество инверсий в перестановке, а не сама инверсия. Пусть   - квадратная матрица порядка n на n над полем действительных (или комплексных) чисел. Пусть   – множество всех перестановок порядка n множества  . Множество   содержит n! перестановок. Обозначим k–ую перестановку множества   как  , а количество инверсий в k-ой перестановке как  . Определитель матрицы А есть число, равное  . Опишем эту формулу словами. Определителем квадратной матрицы порядка n на n является сумма, содержащая n! слагаемых. Каждое слагаемое представляет собой произведение n элементов матрицы, причем в каждом произведении содержится элемент из каждой строки и из каждого столбца матрицы А. Перед k-ымслагаемым появляется коэффициент ( -1 ), если элементы матрицы А в произведении упорядочены по номеру строки, а количество инверсий   в k-ой перестановке множества номеров столбцов нечетно. Определитель матрицы А обычно обозначается как  , также встречается обозначение det( A ). Также можно услышать, что определитель называют детерминантом. Итак,  . Отсюда видно, что определителем матрицы первого порядка является элемент этой матрицы  . Найдем определитель квадратной матрицы   порядка 2 на 2 в общем виде. В этом случае n = 2, следовательно, n! = 2! = 2. Оформим в виде таблицы необходимые данные для применения формулы  .   Имеем Таким образом, мы получили формулу для вычисления определителя матрицы порядка 2 на 2, она имеет вид  .

28. Понятие минора и алгебраического дополнения

Минором   элемента   матрицы  n-го  порядка называется определитель матрицы  (n-1)-го порядка, полученный из матрицы  А  вычеркиванием  i-й строки и  j-го столбца.

При выписывании определителя  (n-1)-го порядка, в исходном определителе элементы находящиеся под линиями в расчет не принимаются.

Пример 1. Составить минор  , полученную из исходной матрицы:

Решение:

.

II. Алгебраические дополнения

Алгебраическим дополнением  А_ij  элемента а_ij матрицы  n-го порядка называется его минор, взятый со знаком, зависящий от номера строки и номера столбца:

то есть алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца – четное число, и отличается от минора знаком, когда сумма номеров строки и столба – нечетное число.