12. Основные теоремы дифференциального исчесления

Теорема Ферма. Пусть функция f (х) определена на интервале (а, b) и в некоторой точке х₀ (а, b) имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке х₀ существует конечная производная f '(x₀), то f '(x₀) = 0.

Теорема Ролля. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [а, b], дифференцируема на (а, b), f (а) = f(b). Тогда существует хотя бы одна точка , а < < b, такая, что f '() = 0.

Теорема Коши. Пусть функции f (х) и g(х) непрерывны на отрезке

[a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b), причем g'(х) 0, х (a, b). Тогда на (a, b) найдется точка , такая, что

. (1)

Теорема Лагранжа. Пусть функция f(х) непрерывна на [a, b], дифференцируема на интервале (a, b). Тогда на (a, b) найдется точка , такая, что

13. Правило Лопиталя

Правило Лопиталя очень широко применяется для вычисления пределов, когда имеет место неопределенность вида ноль делить на ноль  , бесконечность делить на бесконечность  .

К этим видам неопределенностей сводятся неопределенности ноль умножить на бесконечность   и бесконечность минус бесконечновть  .

Дифференцирование функции и нахождение производной является неотъемлемой частьюправила Лопиталя, так что рекомендуем обращаться к этому разделу.

Формулировка правила Лопиталя cледующая:

Если  , и если функции f(x) и g(x) – дифференцируемы в окрестности точки  , то 

В случае, когда неопределенность не исчезает после применения правила Лопиталя, то его можно применять вновь.

1. Неопределенность вида 0/0. Первое правило Лопиталя.

Если  = 0, то  , когда последний существует.

2. Неопределенность вида ∞/∞. Второе правило Лопиталя.

Если  = ∞, то  , когда последний существует.

3. Неопределенности вида 0 ⋅∞, ∞ - ∞, 1^∞ и 0⁰ сводятся к неопределенностям 0/0 и ∞/∞ путем алгебраических преобразований.

14. Исследование поведения функций

1.      Область определения

2.      Исследование функции на четность, нечетность и периодичность

Если область определения функции симметрична относительно нуля и для любого x из области определения выполнено равенство  , то  – четная функция; если область определения функции симметрична относительно нуля и для любого x из области определения выполнено равенство  , то  – нечетная функция; в противном случае,  – общего вида. График четной функции симметричен относительно оси ординат, график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

3.      Нахождение точек пересечения графика функции с осями координат

Точки пересечения с осью ОХ:  , где   – решение уравнения  .

Точки пересечения с осью ОY:  .

4.      Нахождение промежутков знакопостоянства функции

Промежутки знакопостоянства функции – промежутки из области определения функции, где функция принимает положительные или отрицательные значения, т.е.   или  .

5.      Нахождение производной функции, области определения производной, критических точек

Критические точки функции – внутренние точки области определения функции, в которых производная не существует или равна нулю.

6.      Нахождение промежутков возрастания, убывания, точек экстремума и экстремумов

Критические точки функции разбивают область определения функции на промежутки. Для нахождения промежутков возрастания, убывания и точек экстремума нужно определить знак производной на каждом из полученных промежутков. Если производная функции положительна на некотором промежутке I, то функция возрастает на этом промежутке; если производная функции отрицательна на некотором промежутке I, то функция убывает на этом промежутке. Если при переходе через критическую точку производная меняет знак, то данная точка является точкой экстремума.

7.      Нахождение промежутков выпуклости функции и точек перегиба

Для нахождения промежутков выпуклости используется вторая производная функции. Точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, разбивают область определения функции на промежутки. Если вторая производная на полученном промежутке положительна, то график функции имеет выпуклость вниз, если – отрицательна, то график функции имеет выпуклость вверх. Если при переходе через точку, в которой вторая производная равна нулю или не существует, вторая производная меняет знак, то данная точка является точкой перегиба.

8.      Исследование поведения функции на бесконечности и в окрестности точек разрыва

Для исследования поведения функции в окрестности точки разрыва   необходимо вычислить односторонние пределы:   и   . Если хотя бы один из данных пределов равен бесконечности, то говорят, что прямая   – вертикальная асимптота.

При исследовании поведения функции на бесконечности необходимо проверить, не имеет ли график функции наклонных асимптот при   и  . Для этого нужно вычислить следующие пределы:  и   . Если оба предела существуют, то   – уравнение наклонной асимптоты при  . Частный случай наклонной асимптоты при   – горизонтальная асимптота.  Аналогично ищется наклонная асимптота при  . 

9.      Построение графика (при необходимости нужно найти значения функции в дополнительных точках)