15. Понятие дифференциала и его свойства
Дифференциал (от лат. differentia — разность, различие) в математике, главная линейная часть приращения функции. Если функция y = f (x) одного переменного х имеет при х = х0 производную, то приращение
Dy = f (x0 + Dx) - f (x0)
функции f (x) можно представить в виде
Dy = f' (x0) Dx + R,
где член R бесконечно мал по сравнению с Dх. Первый член
dy = f' (x0) Dх
в этом разложении и называется дифференциалом функции f (x) в точке x0. Из этой формулы видно, что дифференциал dy линейно зависит от приращения независимого переменного Dx, а равенство
Dy = dy + R
показывает, в каком смысле Д. dy является главной частью приращения Dy.
16. Первообразная. Неопределенный интеграл
Первообра́зной функцией данной функции f называют такую F, производная которой (на всей области определения) равна f, то есть F ′ = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.
Графики таких первообразных смещены вертикально относительно друг друга, и их положение зависит от значения C.
Первообразные важны тем, что позволяют вычислять интегралы. Если F — первообразная интегрируемой функции f, то:
Это соотношение называется формулой Ньютона — Лейбница.
Благодаря этой связи множество первообразных данной функции f называют неопределённым интегралом (общим интегралом) f и записывают в виде интеграла без указания пределов:
Каждая непрерывная функция f имеет первообразную F, одна из которых представляется в виде интеграла от f с переменным верхним пределом:
Неопределённый
интегра́л для
функции 
—
это совокупность всех первообразных данной
функции.
Если
функция
определена
и непрерывна на промежутке 
и 
—
её первообразная, то есть 
при 
,
то
,
где С — произвольная постоянная.
Если 
,
то и 
,
где 
—
произвольная функция, имеющая непрерывную
производную
Основные приемы интегрирования
Основные приемы интегрирования
Для вычисления неопределенных интегралов нет такого четкого алгоритма, как для вычисления производных. Кроме того, следует иметь в виду, что бесконечно много интегралов от элементарных функций не выражаются через эти элементарные функции, а представляют собой так называемые специальные функции. Поэтому, вычисление неопределенных интегралов скорее искусство, чем работа по алгоритму. Однако два общих приема все-таки имеются.
Замена переменных.
Пусть
надо вычислить 
.
Сделаем замену
переменных 
,
так что 
.
Пусть нам каким-то образом удалось
вычислить 
.
Тогда имеет место формула
.
Интегрирование по частям.
Пусть 
и 
- две
функции. Тогда имеет место формула
.
4.5 Интегрирование дробно-рациональных функций
Пусть 
есть
правильная рациональная дробь, у
которой 
.
Тогда, согласно предыдущим теоремам,
ее можно представить в виде
,
которое называется разложением правильной рациональной дроби на простейшие.
18.Способ подстановки в неопределённом интеграле
Суть метода заключается в том, что мы вводим новую переменную, выражаем подынтегральную функцию через эту переменную, в результате приходим к табличному (или более простому) виду интеграла.
Очень часто метод подстановки выручает при интегрировании тригонометрических функций и функций с радикалами.
Пример.
Найти неопределенный интеграл
.Решение.
Введем новую переменную
.
Выразим х через z:
Выполняем подстановку полученных выражений в исходный интеграл:
Из таблицы первообразных имеем
.Осталось вернуться к исходной переменной х:
Ответ:
При интегрировании функций с иррациональностью вида
,
где m,
n, p –
рациональные числа, важно правильно
выбрать выражение для введения новой
переменной. Смотрите рекомендации в
разделе интегрирование
иррациональных функций.Очень часто метод подстановки используется при интегрировании тригонометрических функций. К примеру, использование универсальной тригонометрической подстановки позволяет преобразовать подынтегральное выражение к дробно рациональному виду.
Метод подстановки позволяет объяснить правило интегрирования
.Вводим новую переменную
,
тогда
Подставляем полученные выражения в исходный интеграл:
Если принять
и
вернуться к исходной переменной х,
то получим
