31. Правило крамера

Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно).

 Если в системе   линейных уравнений с   неизвестными   , то система имеет решение и притом единственное. Это решение задается формулами

        Доказательство.     По теореме 14.1 обратная матрица находится по формуле

где   -- алгебраические дополнения. Тогда из (15.3) следует, что

Заметим, что по формуле (14.13) разложение определителя   по первому столбцу в точности совпадает с первым элементом матрицы-столбца в правой части последнего равенства, разложение определителя   по второму столбцу дает второй элемент матрицы-столбца и т.д. Поэтому   , откуда и следует утверждение теоремы.    

32. Ме́тод Га́усса^[1] — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные^[2].

Описание метода

Пусть исходная система выглядит следующим образом

Матрица   называется основной матрицей системы,   — столбцом свободных членов.

Тогда согласно свойству элементарных преобразований над строками основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду(эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):

При этом будем считать, что базисный минор (ненулевой минор максимального порядка) основной матрицы находится в верхнем левом углу, то есть в него входят только коэффициенты при переменных  ^[3].

Тогда переменные   называются главными переменными. Все остальные называются свободными.

Если хотя бы одно число  , где  , то рассматриваемая система несовместна, т.е. у неё нет ни одного решения.

Пусть   для любых  .

Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом   ( , где   — номер строки):

, где 

Если свободным переменным системы (2) придавать все возможные значения и решать новую систему относительно главных неизвестных снизу вверх (то есть от нижнего уравнения к верхнему), то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой (1), то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях системы (1) и (2) эквивалентны, то есть множества их решений совпадают.