25.Транспонированная матрица
С
каждой матрицей 
размера
связана
матрица 
размера 
вида
Такая
матрица называется транспонированной
матрицей для
и
обозначается так 
.
Транспонированную матрицу можно получить, поменяв строки и столбцы матрицы местами. Матрица размера при этом преобразовании станет матрицей размерностью .
Диагональная матрица
Диагональная
матрица —
квадратная матрица, все элементы которой
кроме диагональных — нулевые 
,
иногда записывается как:
Единичная матрица
Единичная матрица — матрица, при умножении на которую любая матрица (или вектор) остается неизменной, является диагональной матрицей с единичными (всеми) диагональными элементами:
Для ее обозначения чаще всего используется обозначение I или E, а также просто 1 (или 1 специальным шрифтом).
Для
обозначения ее элементов также
используется символ
Кронекера 
,
определяемый как:
при 
Нулевая матрица
Для
обозначения нулевой
матрицы —
матрицы, все элементы которой нули (при
сложении ее с любой матрицей та остается
неизменной, а при умножении на любую
получается нулевая матрица) —
используется обычно просто 0 или 0
специальным шрифтом, или буква, начертанием
похожая на ноль, например 
.
Вектор-строка и вектор-столбец
Матрицы
размера 
и 
являются
элементами пространств
и
соответственно:
матрица размера называется вектор-столбцом и имеет специальное обозначение:
матрица размера называется вектор-строкой и имеет специальное обозначение:
25. Сложение и умножение матриц
26.Сложение матриц
Суммой
матриц 
и 
одинаковых
размеров называется матрица 
тех
же размеров, у которой 
Обозначение: C
= А + В.
Свойства
сложения матриц: А
+ В = В + А, (А
+ В) + С = A + (B + C), А
+ 0 = A, А
+ (-A) = 0, 
A, B, C.
Умножение матрицы на число
Произведением
матрицы
на
число 
называется
матрица
тех
же размеров, у которой 
Обозначение: 
Свойства 
, 
и 
Умножение матриц
Произведением
матрицы 
размером 
на
матрицу 
размером 
назвается
матрица
размером 
у
которой 
Обозначение: C
= AB.
Свойства AE = EA = A, AO = OA = O, (AB)D = A(BD), (AB) = ( A)B = A( B), (A + B)D=AD + BD, D(A + B) = DA + DB (при условии, что указанные операции имеют смысл).
Для
квадратных матриц А и B,
вообще говоря, 
26. Транспонирование матриц
Транспонированная матрица — матрица , полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы.
Формально, транспонированная матрица для матрицы размеров — матрица размеров , определённая как AT[i, j] = A[j, i].
Например,
и
Свойства транспонированных матриц
Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.
Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц.
Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке.
При транспонировании можно выносить скаляр.
Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.
Свойства: 
