5. Раскрытие некоторых неопределенностей

Для раскрытия неопределённостей типа   используется следующий алгоритм:

1. Выявление старшей степени переменной;

2. Деление на эту переменную как числителя, так и знаменателя.

Для раскрытия неопределённостей типа   существует следующий алгоритм:

1. Разложение на множители числителя и знаменателя;

2. Сокращение дроби.

Для раскрытия неопределённостей типа   иногда удобно применить следующее преобразование:

Пусть   и 

6. Основные теоремы непрерывных функций

Первая теорема Больцано-Коши.Пусть f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b] и на концах этого отрезка принимает разные по знаку значения.Тогда существует такая точка с принадлежащая [а,b] в которой f(c)=0.

Доказательство.

Пусть, для определенности, f(a)<0, f(b)>0. Ситуация выглядит так:

Вторая теорема Больцано-Коши. Пустьf(x) определена и непрерывна на отрезке <a,b> и  . Тогда  m<C<M  с<a,b> f(c)=C.

Примечание. Символ < означает любой из двух символов – ( или [, а символ > - любой из двух символов - ) или ]. Таким образом, отрезок <a, b> означает любой из следующих отрезков – [a,b], (a,b], [a,b), или (a,b).

Первая теорема Вейерштрасса.

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на замкнутом отрезке [a, b]. Тогда она ограничена на этом отрезке, т.е. существуют такие числа m и M, что  x принадлежащего [a,b] f(x) больше либо равно m и меньше либо равно M.

Доказательство.

Доказательство этой теоремы проведем методом от противного.

Предположим противное – пусть, например, функция f(x) неограничена сверху.

1. Построение последовательности. Мы предположили, что f(x) неограничена сверху на [a,b]. Это означает, что для любого числа А найдется такая точка x[a,b], что f(x)>A.

Возьмем в качестве числа А числа 1, 2, 3, 4,… Тогда  , что f(x_n)>n.Мы получили, таким образом, некоторую последовательность {x_n}[a,b] и удовлетворяющую свойству f(x_n)>n.

2. Выделение подпоследовательности. Так как последовательность {x_n} ограничена, то по лемме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся последовательность {x_n}, т.е.  . В силу замкнутостиотрезка [a, b] точка c [a,b]. (Отметим,что в этом месте используется ограничение теоремы – замкнутость [a,b]. Если бы, например, был (a,b), то с могла бы и не принадлежать (a,b)).

3. Сведение к противоречию.Т.к. согласно п.1  , то, переходя к пределу kполучим  т.е. f(c)=+, что противоречит условию теоремы, где сказано, что f(x) определена на отрезке [a,b],что означает, что f(c) должна иметь конечное значение. 

Вторая теорема Вейерштрасса.

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на замкнутом отрезке[a,b]. Тогда существуют такие точки x₁, x₂ принадлежащие [a,b], что  , т.е. инфимум и супремум f(x) достигаются на [a,b].

Равномерная непрерывность. Теорема Кантора

Разберем теперь важное и сложное понятие равномерной непрерывности.

Пусть имеется функция f(x), которая непрерывна на некотором множестве Х. Вспомним, что это означает: это означает, что f(x) непрерывна в каждой точке этого множества и записывается так:

Обратим внимание на величину стоящую после квантора  . От чего она зависит?

Общее правило гласит, что величина,стоящая после квантора   зависит от всех величин, которые стоят после квантора  , которые расположены впереди квантора  . В данном случае перед  стоят два квантора  . Поэтому зависит от  и, и это самое главное, от х₀, т.е. ,x₀).

Так вот, эта зависимость  от х₀ очень сильно мешает при доказательстве многих теорем. Хотелось бы, чтобы  зависело только от  и не зависело от х₀, т.е. было бы одинаково пригодно для всех х₀ Х. Это желание избавиться от зависимости  от х₀ и приводит к понятию равномерной непрерывности.