§4. Порядок в кольце целых чисел

Определение: Будем говорить, что целое число α=[(a;b)] больше чем целое число β=[(c;d)], если a+d>b+c обозначается α>β.

Пример:

α=[(5;2)], β=[(3;1)]

5+1>2+3=> α>β.

Теорема (Корректность определения): Отношение «больше чем» не изменится при другом выборе пар, которые определяют эти числа.

Док-ство: α=[(a;b)]=[(a₁;b₁)], β=[(c;d)]=[(c₁,d₁)]

a+d>b+c

док.: a₁+d₁>b₁+c₁

(a;b)~ (a₁;b₁)=>a+b₁=b+a₁

(c;d) ~ (c₁,d₁)=> c+d₁=d+c₁

(a₁+d₁)+(b+c)=(b₁+c₁)+(a+d)

a+d>b+c

a₁+d₁> b₁+c₁□

Определение: Будем говорить, что α≥β если α>β или α=β. Будем говорить, что α≤β если α<β или α=β. α>β если β>α.

Теорема 2: α,β имеет место только одно из соотношений:

1) α>β

2) α=β

3) α<β

Док-ство: Пусть : α=[(a;b)], β=[(c;d)]

(a+d) и (b+c)

(a+d>b+c) (a+d=b+c) (a+d<b+c)=>α>β α=β α<β□

Теорема3: Отношение «≥» явл. Отношением порядка на множестве целых чисел.

Док-ство:

Рефлексивность: α≥α (очевидно)

Антисимметричность: α,β: α≥β β≥α=>α=β

α=[(a;b)], β=[(c;d)]

a+d=b+c=>(a;b)~(c;d)

α=β

Транзитивность: α,β,γ : α≥β β≥γ=>α≥γ

α=[(a;b)], β=[(c;d)], γ=[(m,n)]

β≥γ: c+n≥d+m

α≥β: a+d≥b+c

док.: a+n≥b+m

(a+d)+(c+n)≥(b+c)+(d+m)

a+n≥b+m [α≥γ]

§5

Определение: Будем говорить, что целое число положительное, если а>b. И будем обозначать ₊ - множество всех положительных целых чисел.

Свойство1: (корректность определения) Определение корректно.

Доказательство: , a>b

доказать:

(a,b) ~ : a+ =b+ , a>b .

Лемма1: Множество ₊={[1+k;1]| k }

Доказательство: ,1+k>1 ₊

₊ c>d

(c;d) ~ (c+1;d+1)=(d+k+1;d+1) ~ (k+1;1).

Свойство2: ₊

Доказательство: k≠n [(1+k;1)]≠[(1+n;1)] – отображение и иньекция

[(1+n;1)].

Теорема1: Отображение ₊ сохраняет отношение «больше чем», «сумму», «произведение».

Доказательство: α>β f(α)>f(β)

α= [(1+k;1)] β=[(1+n;1)]

α>β (1+k)+1>1+(1+n) k+2>n+2 k>n

f(α)>f(β)

• f(α+β)= f(α)+f(β)

α= [(1+k;1)] β=[(1+n;1)]

α+β=[1+k+1+n;1+1]=[(1+k+n;2)]

f(α+β)=k+n= f(α)+f(β)

• f(αβ)=f(α)f(β)

α= [(1+k;1)] β=[(1+n;1)]

αβ=[((1+k)(1+n)+1;1+k+1+n)]=[(1+kn;1] f(α*β)=k*n= f(α)*f(β).

Следствие: Отображение f^-1: ₊ :k [(1+k;1)] является инъекцией сохраняет сумму, произведение и отношение «>».

Таким образом f^-1 является вложением и позволяет нам рассматривать как подмножество в .

Свойство3: Положительное число равно натуральному числу .

Доказательство: >0 a>b

.

Свойство4: Любое целое число равно разности натуральных чисел .

Доказательство: a=[(1+a;1)]

b=[(1+b;1)]

Рассмотрим сумму

α+β=[(a;b)]+[(1+b;1)]=[(a+1+b;b+1)]=[(a+1;1)]=a.

Определение: Целое число называется отрицательным, если

Свойство: Число положительное тогда и только тогда, когда .

Доказательство: 0=[(1;1)]

положительное .

Свойство5: , где .

§6. Свойства целых чисел

Свойство 1(архимедовость кольца целых чисел): ,, >0 n N:_n>

Доказательство: >0 ,N

0 n=1 

Свойство 2(дискретность множества целых чисел): каждое целое число  имеет соседнее число +1, т.е. не  : <<+1

Доказательство: N +1=’N, для натуральных чисел дискретность была доказана

N (-)

00

f:N{0}{-N}{0}: -

Далее рассуждаем от противного: если бы для отрицательных чисел выполнялось –(+1)<-<-, то тогда бы т.к. f биекция<<+1 ?!

Нет натуральных чисел между 0, 1 и -1,0

Нет натуральных чисел перед 1 поэтому не существует натурального числа  между 0 и 1.

-1, 0 – не существует отрицательного целого числа - между -1 и 0.

Свойство 3:

1. >+>+

2. > >+>+

3. >>0>

4. >->0

5. =0=0=0

Доказательство:

1. =[(a,b)], =[(c,d)] , =[(m,n)]

>a+d > b+c

+=[(a+m; b+n)]

+=[(c+m; d+n)]

Доказать: +>+

a+m+d+n> b+n+c+m

a+d>b+с

> 

Свойство 4: Множество целых чисел счетно.

Доказательство: