Целые числа

§1 Определение целого числа

Определение: Пусть (a;b), (c;d) . Пара .

Пример: (5;3) (8;6) (9;7) (130;128).

Теорема: Отношение (эквивалентности) является отношением эквивалентности.

Док-во:

рефлексивность:

симметричность:

транзитивность:

 (сложив обе части получим)

ч.т.д.

Свойство:

Док-во:

Определение: (через абстракцию)

Целым числом будем называть класс эквивалентности относительно отношения эквивалентности на  Множество всех классов эквивалентности называется множеством целых чисел и обозначается Z.

/

Пример:

§2. Сумма и разность целых чисел

Определение: суммой целых чисел =[(a, b)] и =[(c, d)] называется целое число

=[(a+с, b+ d)]; =+

Пример:

[(5, 2)]+ [(6, 1)]= [(11, 3)]

[(8, 5)]+ [(8, 3)]= [(16, 8)]

Теорема1 (корректность определения суммы):

Сумма не зависит от выбора представителя класса. (Суммы эквивалентных пар эквивалентны)

Доказательство:

=[(a, b)] =[(a₁, b₁)]

=[(c, d)]= [(c₁, d₁)]

Нужно доказать: [(a+с, b+ d)]= =[(a₁+ c₁, b₁+ d₁)]

(a+с, b+ d) (a₁+ c₁, b₁+ d₁)

Доказать: (a+с)+( b₁+ d₁)=( b+ d)+ (a₁+ c₁)

• [(a, b)] =[(a₁, b₁)] (a, b)(a₁, b₁)

а+ b₁= b+a₁ (1)

• [(c, d)]= [(c₁, d₁)] (c, d)(c₁, d₁)

с+ d₁= d+ c₁ (2)

(1)+(2): ( а+ b₁)+ (с+ d₁)= (b+a₁)+ (d+ c₁)

Теорема2 (коммутативность сложения):

Сложение целых чисел коммутативно: ,Z +=+

Доказательство:

=[(a, b)]

=[(c, d)]

+=[(a+с, b+ d)]

+=[(с+a, d +b)]= +

Теорема3 (ассоциативность сложения):

,,Z: (+)+=+(+)

Доказательство:

=[(a, b)] =[(c, d)] =[(m, n)]

(+)+ = [(a+с, b+ d)] + [(m, n)]=[((a+c)+m; (b+d)+n)]

+(+) = [(a, b)] +[(c+m, d+n)]=[((a+c)+m; b+(d+n))]= (+)+

Свойство1: целое число 0=[(a, a)] является нейтральным элементом относительно сложения в множестве целых чисел: +0=0+= Z

Доказательство:

=[(c, d)]

+0=[(c, d)]+ [(a, a)]= =[(с+a, d+a)]= [(c, d)]=

0+= +0 (коммутативность)

Определение: целое число 0=[(a, a)] называется нулем.

Свойство2: =[(a, b)] Z  (-)=[(b, a)], которое является противоположным к элементу  относительно сложения.

Доказательство:

+(-)=(-)+=0

+(-)=[(a+b; b+a)]=[(a+b; a+b)]=0

(-)+=+(-)=0 (коммутативность)

Следствие: < Z ; + > - аддитивная абелева группа

Определение: разностью целых чисел  и  называется такое число , что =+

Свойство3: (-) решение уравнение +х=

Теорема4:

,Z разность (-) существует и определена единственным образом.

Следствие:

Разность – бинарная алгебраическая операция на Z.

§3. Умножение целых чисел

[(a;b)]∙[(c;d)]

(a-b)(c-d)=(ac+bd)-(bc-ad)

Определение:

Произведением целых чисел α и β называется целое число α∙β=[(ac+bd;ad+bc)]

Теорема 1: (корректность определения произведения)

Произведения эквивалентных пар эквивалентны

►α=[(a;b)]=[(a₁;b₁)], β=[(c;d)]=[(c₁;d₁)]

Доказать: [(ac+bd;ad+bc)]=[(a₁c₁+b₁d₁;a₁d₁+b₁c₁)] <=>(ac+bd;ad+bc)~ (a₁c₁+b₁d₁;a₁d₁+b₁c₁) <=> (ac+bd)+( a₁c₁+b₁d₁)=( ad+bc)+( a₁c₁+b₁d₁)

Доказательство:

[(a;b)]= [(a₁;b₁)] <=> (a;b)~(a₁;b₁) <=> a+b₁=a₁+b (1)

(1)∙c : ac+b₁c=bc+a₁c (2)

(1)∙d: ad+b₁d=bd+a₁d (3)

(2)+(3): (ac+bd)+(b₁c+a₁d)=(ad+bc)+(b₁d+a₁c) (4)

[(c;d)]= [(c₁;d₁)] <=> (c;d)~(c₁;d₁) <=>c+d₁=c₁+d (5)

(5)∙a₁: ca₁+d₁a₁=da₁+c₁a₁ (6)

(5)∙b₁: cb₁+d₁b₁=db₁+c₁b₁ (7)

(6)+(7):(a₁d₁+b₁c₁)+(ca₁+db₁)=(a₁c₁+b₁d₁)+(cb₁+da₁) (8)

(4)+(8):(ac+bd)+(b₁c+a₁d)+(a₁d₁+b₁c₁)+(ca₁+db₁)=(ad+bc)+(b₁d+a₁c)+(a₁c₁+b₁d₁)+(cb₁+da₁)◄

Теорема 2: (коммутативность умножения)

Умножение целых чисел коммутативно, т.е. для любых целых α, β справедливо равенство α∙β=β∙α

► α=[(a;b)], β=[(c;d)]

α∙β=[(ac+bd;ad+bc)] и β∙α==[(ca+bd;da+cb)], а так как умножение на множестве натуральных чисел коммутативно, то отсюда следует что α∙β=β∙α ◄

Теорема 3: (ассоциативность умножения)

Умножение целых чисел ассоциативно, т.е. для любых целых α, β, γ справедливо равенство (α∙β)∙γ=α∙(β∙γ)

► α=[(a;b)], β=[(c;d)], γ=[(m;n)]

(α∙β)∙γ=[(ac+bd;ad+bc)]∙[(m;n)]=[((ac+bd)m+(ad+bc)n;(ac+bd)n+(ad+bc)m] и α∙(β∙γ)= [(a;b)]∙[(cn+dm;cm+dn)]=[(a(cm+dm)+b(cn+dm);a(cn+dm)+b(cm+dn))], а так как умножение и сложение на множестве натуральных чисел коммутативно, то отсюда следует что (α∙β)∙γ=α∙(β∙γ) ◄

Теорема 4: (дистрибутивность умножения относительно сложения)

Для любых целых α, β, γ справедливо равенство α∙(β+γ)=α∙β+α∙γ

► α=[(a;b)], β=[(c;d)], γ=[(m;n)]

α∙(β+γ)=[(a;b)]∙[(c+m;d+n)]=[(a(c+m)+b(d+n);a(d+n)+b(c+m))]=[(ac+am+bd+bn;ad+an+bc+bm)] и α∙β+α∙γ=[(ac+bd;ad+bc)]+[(am+bn;an+bm)]=[(ac+bd+am+bn;ad+bc+an+bm)], а так как сложение натуральных чисел коммутативно, то отсюда следует что α∙(β+γ)=α∙β+α∙γ◄

Следствие:

< Z ; + ; ∙ > – коммутативное кольцо

Определение:

Единицей называется целое число 1_Z=[(2;1)]

Свойство:

Для любых αϵZ 1_Z∙α=α∙1_Z=α

► α=[(a;b)]

1_Z∙α=[(2;1)]∙[(a;b)]=[(2a+b;2b+a)]=[((a+b)+a;(a+b)+b)]=[(a;b)]=α, а так как умножение на множестве целых чисел коммутативно, то отсюда следует что верно и α∙1_Z=α ◄

Следствие:

< Z ; + ; ∙ > – коммутативное кольцо с единицей