§3.Умножение нат. Чисел и его св-ва

Определение. Умножением нат. чисел

,кот. удовлетворяет следующим условиям

1. 

2. 

Теорема. Умножение N может быть всегда???????????

Пример. Найти произведение 3·5 по определению

Теорема 2. (закон дистрибутивности)

Док. ММИ(с)

с=1

пусть

док.

Теорема 3. (закон коммутативности)

Док. 1.

ММИ( ) - истина

пусть

доказать

2.

ММИ(а)

а=1

Теорема 3. (левый закон дистрибутивности)

Док.

Теорема 5. (закон ассоциативности умножения)

Док. ММИ(с)

пусть

док.

§4. Порядок на множестве натуральных чисел.

Опр.1. Пусть , будем говорить, что , если , что

Свойство 1:

Док-во: ч.т.д.

Теорема_1(сво-во трихотомии): имеет место только одно из соотношений:

1. 

2. 

3. 

Док-во:

1. Существование:

Fix(a); ММИ по b

b=1:

Пусть выполняется одно из соотношений 1,2,3. Докажем, что тоже выполняется одно из трёх соотношений.

1. Пусть

Если k=1, то (соотношение 2)

Если k>1, то +m,

2. Если , значит

3. Если

2. Единственность:

Докажем, что никакие два соотношения 1,2,3 не выполняются одновременно.

1. Пусть

2. 

3. 

Опр.2: Отношение R на множестве M называется отношением строгого порядка, если оно:

1. Анти-рефлексивно ( )

2. Асимметричность (

3. Транзитивность:

Теорема 2: Отношение является отношением строгого порядка на множестве

Опр.3: Если , если , если .

Опр.4.: Отношение R на множестве M называется отношением порядка, если оно:

1. Рефлексивно ( )

2. Антисимметричность (

3. Транзитивность:

Теорема 3: Отношение является отношением порядка на

Док-во: 1,2 – очевидно.

1. 

2. 

3. ч.т.д.

Сво-во 2:

Док-во: ММИ по a

Пусть . Докажем, что : по свойству 1:

ч.т.д.

Опр.4: Отношение порядка R на множестве называется линейным, если .

Теорема 4: Отношение является отношением линейного порядка на множестве : .

Док-во:

Fix(b); ММИ по a

пусть для a выполняются следующее: .Докажем, что .

Если , то

Если , то

Если

Если k=1, то

Если k>1, то

ч.т.д.

Теорема 5: (закон монотонности сложения):

Док-во: 1. ( )

Если , то

Если

( )

Пусть

2. аналогично.

ч.т.д.

Замечание: Свойства, аналогичные свойствам 1 и 2, Теореме 5 – выполняются для строгих неравенств.

Теорема 6: (закон монотонности умножения):

Замечание: аналогично для строгих неравенств.

Следствие:

1. 

2. 

3. 

4. 

Замечание: аналогично для строгих неравенств.

Сво-во: (архимедовасть множества чисел):

Док-во:

ч.т.д.

Сво-во: (дискретность множества чисел):

Док-во:

ч.т.д.

§ 5 Вычитание и деление натуральных чисел

Опр.: Натуральное число (если оно ) называется разностью чисел и , если .

Замечание: Разность есть решение уравнения .

Теорема 1:

1. ;

2. Если разность , то она определена единственным образом.

Доказательство:

1. пусть ;

2. 

.

Теорема 2:

1. ;

2. .

Доказательство:

1. 

;

2. Пусть

Следствие: Свойство справедливо для строгих и нестрогих неравенств

1. ;

2. .

Опр.: Частным чисел и называется такое число , что . Обозначим .

Разное и частное не являются бинарными алгебраическими операциями.

Пример: .

Замечание: Частное чисел и есть решение уравнения .

Определение: Число кратно числу , если такое , что .

Теорема: Если частное и , то оно единственное.

Доказательство:

.

Свойство: .

Доказательство: .

Теорема: 1) ; 2) .

Доказательство: 1)

- пусть - дано

- противоречие;

- пусть - дано

- противоречие;

- пусть - дано

.

Теорема (свойство сложения и вычитания): Если соответствующая разность чисел , то выполняются следующие равенства:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

Доказательство:

1)обозначим .

Проверяем, подойдёт ли в качестве правая часть равенства

.

5)

.

8)

.

Теорема (свойство деления и умножения):

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

Следствие: Если соответствующие разности, то:

1. ;

2. .

Доказательство:

1. 

;

2. .