Задачи для домашнего решения с помощью закона полного тока при наличии полости

1. В бесконечном слое толщиной 2d ток течет параллельно одной из поверхностей и имеет плотность j. В слое имеется бесконечная цилиндрическая полость, ось которой совпадает с направлением тока. Полость имеет радиус R, а ее ось отстоит на расстоянии а от плоскости симметрии слоя. Найти поле вне и внутри слоя на расстоянии х от плоскости симметрии слоя по направлению к полости и в противоположном от нее направлении.

2. Решить предыдущую задачу в случае полости в виде бесконечного цилиндрического слоя с радиусами R₁ и R₂.

3. Найти поле вне и внутри бесконечного цилиндра радиуса R, по которому течет ток с плотностью j, если внутри цилиндра имеется полость в виде бесконечного цилиндрического слоя с радиусами R₁ и R₂.

Расчет магнитных полей с помощью закона био-савара-лапласа

Задача 7. Два круговых витка расположены в двух взаимно перпендикулярных плоскостях так, что центры витков совпадают (см. рис. 7). Радиус каждого витка 2 см; токи, текущие по виткам I₁ = I₂ = 5 А. Найти индукцию магнитного поля в центре витков.

Решение. Найдем индукцию поля, созданного в центре кругового витка с током I₁ (рис. 7). Разобьем этот виток с током на очень маленькие элементы длиной , направленные по направлению движения тока I₁. Тогда согласно закону Био-Савара-Лапласа каждый такой элемент с током создает в центре витка поле , направленное по оси витка вниз.

П олное поле в центре витках по принципу суперпозиции для вектора равно , где интеграл является суммой полей, созданных всеми элементами, на которые был мысленно разбит виток с током. Направление всех векторов одинаково, синус угла между векторами и равен единице. Поэтому можно написать . Аналогично для второго контура находим .

Согласно принципу суперпозиции для вектора индукция магнитного поля в центре витков есть векторная сумма индукций, созданных каждым витком: . Вектора и взаимно перпендикулярны, поэтому . С учетом числовых данных задачи получаем В = 2,2  10^–4 Тл.

Задача 8. Найти поле на оси кругового тока I на расстоянии а от центра кольца. Радиус проводника с током равен R.

Р

R

ешение. Поле нижнего элемента тока длиной равно . Угол между векторами и равен /2 и, следовательно, sin  = 1. Поле от всех элементов кольца с током направлено по оси, так как составляющие поля , перпендикулярные этой оси взаимно уничтожаются полями попарно симметричных элементов проводника с током (например, для нижнего элемента симметричным является верхний элемент ). Спроектируем вектор на ось кольца (углы  в двух треугольниках на рис. 8 равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами). Тогда .

Задача 9. Тонкий провод с изоляцией образует плоскую спираль из N = 100 плотно расположенных витков, по которым течет ток I = 8 мА. Внутренний и внешний радиусы спирали равны: а = 50 мм, b = 100 мм. Найти индукцию магнитного поля в центре спирали.

Р ешение. Будем рассматривать спираль как набор тонких круговых токов расположенных на переменном расстоянии r от центра спирали. Введем радиальную толщину dr для каждого из таких токов и радиальную плотность тока  = IN / (b – a), так как полный ток, пересекающий радиальный отрезок от а до b, равен IN. Тогда по каждому такому круговому проводнику протекает ток dI = dr, который создает в центре спирали поле (см. решение задачи 7 или 8). Для того чтобы найти поле от всей спирали, надо проинтегрировать полученное выражение по r в пределах от а до b. В результате получаем:

= 7 мкТл.

Задача 10. Непроводящий тонкий диск радиуса R, равномерно заряженный с одной стороны с поверхностной плотностью , вращается вокруг своей оси с угловой скоростью . Найти индукцию магнитного поля в центре диска.

Решение. Разобьем весь диск на кольца с переменным радиусом r и одинаковой толщиной dr. Площадь каждого кольца dS = 2rdr. На каждом таком кольце находится заряд dq =  dS = 2rdr. При вращении диска в каждом таком кольце образуется ток di = dq/T = dq/2, где Т = 2 / - период вращения диска. Каждый такой кольцевой ток создает в центре диска магнитное поле dB = ₀di/2r = 0,5₀dr. Поле, созданное всеми кольцевыми токами, находится путем интегрирования по r от 0 до R.. В результате получаем: В = 0,5₀R.

З адача 11. Непроводящая сфера радиуса R = 50 мм, заряженная равномерно с поверхностной плотностью  = 10 мкКл/м², вращается с угловой скоростью  = 70 рад/с вокруг оси, проходящей через ее центр. Найти магнитную индукцию в центре сферы.

Решение. Разобьем всю поверхность сферы на кольца с переменным радиусом r и шириной (вдоль поверхности) dz (Рис. 10). Площадь каждого кольца dS = 2rdz. На каждом таком кольце находится заряд dq =  dS = 2rdz. При вращении диска в каждом таком кольце образуется ток di = dq/T = dq/2, где Т = 2 / - период вращения диска. Каждый такой кольцевой ток создает в центре сферы магнитное поле . Введем для кольца угол  и его бесконечно малое приращение d. Тогда dz = dR, r = Rsin  и di = R² sin  d. Магнитное поле dB = 0,5₀R sin³  d. Угол  меняется от  до 0. Интегрируя полученное выражение для dB по  в этих пределах, и учитывая, что интеграл , получаем: В = (2/3)₀R.