Бесконечно малые и большие величины

Функция f(х) называется бесконечно малой величиной, если ее предел равен нулю: .

Функция f(х) называется бесконечно большой величиной при x  х₀, если для любого, даже сколь угодно большого положительного числа М, найдется такое положительное число  (зависящее от М, т.е.  =  (М)), что для всех х  х₀ таких, что |х - х₀| < , верно неравенство: |f(x)| > M.

Это записывают следующим образом: или f(x)   при x  х₀.

Бесконечно большая величина в бесконечности определяется аналогично (на основе определения предела функции в бесконечности) и записывается или f(x)   при x  .

Если вместо неравенства |f(x)| > M рассматривать f(x) > M или f(x) < -M, то можно говорить соответственно о бесконечно большой положительной или отрицательной величине.

Основные свойства бесконечно малых и больших величин (здесь соответствующие теоремы доказываться не будут):

1. Сумма, разность и произведение бесконечно малых величин есть бесконечно малая величина.

2. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию (в том числе на константу) есть бесконечно малая величина.

3. Частное от деления бесконечно малой величины на ограниченную функцию, которая при той же базе не стремится к нулю, есть бесконечно малая величина.

4. Сумма и разность бесконечно большой величины и ограниченной функции есть бесконечно большая величина.

5. Произведение бесконечно большой величины и функции, которая при той же базе не стремится к нулю, есть бесконечно большая величина.

6. Частное от деления бесконечно большой величины на функцию, которая при той же базе имеет предел, есть бесконечно большая величина.

7. Если функция f(x) является бесконечно большой или малой величиной, то функция 1/f(x) является соответственно бесконечно малой или большой величиной.

Отметим, что оговорки, сделанные в этих свойствах по поводу переделов второй функции, исключают пока из рассмотрения ситуации, когда бесконечно большие величины делят друг на друга или вычитают друг из друга, либо бесконечно малые величины делят друг на друга, либо перемножают бесконечно большую и бесконечно малую величины. Это так называемые ситуации неопределенности, которые будут более подробно рассмотрены в дальнейшем.

Признаки существования и основные свойства пределов

Рассмотрим признаки существования предела и некоторые свойства пределов (здесь соответствующие теоремы доказываться не будут).

Признаки существования предела¹

I. Существование предела монотонной ограниченной функции. Если функция монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Здесь возможны следующие варианты:

1) Если функция ограничена сверху f(x)  M, то ее предел А  M. Причем если она

а) не убывает, то она имеет предел А при x  х₀-0 (слева) и x  + (см. рис. 2.5)

Рисунок 2.5 – Предел неубывающей ограниченной сверху функции

б) не возрастает, то она имеет предел А при x  х₀+0 (справа) и x  - (см. рис. 2.6)

Рисунок 2.6 – Предел невозрастающей ограниченной сверху функции

2) Если функция ограничена снизу f(x) ≥ M, то ее предел А ≥ M. Причем если она

а) не убывает, то она имеет предел А при x  х₀-0 (справа) и x  - (см. рис. 2.7)

Рисунок 2.7 – Предел неубывающей ограниченной снизу функции

б) не возрастает, то она имеет предел А при x  х₀-0 (слева) и x  + (см. рис. 2.8)

Рисунок 2.8 – Предел невозрастающей ограниченной снизу функции

        

II. Теорема «о двух милиционерах»². Если функция y = f(х) заключена между двумя функциями f₁(х) и f₂(х), имеющими одинаковый предел, то функция f(х) имеет тот же предел (при той же базе).

Т.е. если f₁(х)  f(х)  f₂(х) и , то .

Рисунок 2.9 – Признак 2 существования предела функции