16

Пределы. Непрерывность функций 1

Числовая последовательность и ее свойства 1

Предел числовой последовательности 2

Предел функции 3

Предел функции в бесконечности 3

Бесконечно малые и большие величины 6

Признаки существования и основные свойства пределов 8

Основные свойства пределов 10

Замечательные пределы 11

Первый замечательный предел 12

Второй замечательный предел 12

Непрерывность функции 12

Свойства непрерывных функций 15

Пределы. Непрерывность функций Числовая последовательность и ее свойства

Если каждому натуральному числу n по некоторому закону поставлено в соответствие вполне определенное число а_n, то говорят, что задана числовая последовательность {а_n}: a₁, a₂, … a_n, …

Можно сказать, что числовая последовательность — это функция, заданная на множестве натуральных чисел а_n = f(n), nN.

При этом числа a₁, a₂, … называют членами последовательности, а

a_n – ее общим членом.

Примеры числовых последовательностей:

100, 200, 100*n,...;

5, -5, 5, -5, …;

0, 3/2, 2/3, 5/4, …, (1 + (-1)ⁿ/n), …

Для числовых последовательностей можно сформулировать свойства монотонности так же, как и для функций. Например, в первом из рассмотренных примеров последовательность является возрастающей и неограниченной. В остальных двух примерах последовательности монотонными не являются. Вторая последовательность является ограниченной (ее общий член по модулю не превышает 5). В последнем примере последовательность также ограничена – снизу нулем, а сверху числом 1,5.

Рассмотрим последний пример (на рисунке 2.1 члены этой последовательности изображены на числовой оси). В этой последовательности первый член равен нулю, а в остальных членах в знаменателе стоит номер члена, а числитель на единицу больше номера, если номер четный, или на единицу меньше номера, если номер нечетный. При этом легко заметить, что все нечетные члены меньше единицы, а четные – больше единицы, но с ростом номера расстояние до единицы на числовой оси становится все меньше. Действительно: |a₁ - 1| = 1, |a₂ - 1| = 1/2, |a₃ - 1| = 1/3,..., |a_n - 1| = 1/n,... Таким образом, с ростом n |a_n - 1| будет меньше любого, сколь угодно малого положительного числа.

Рисунок 2.1 – Члены числовой последовательности (пример) на числовой оси

Предел числовой последовательности

Число А называется пределом числовой последовательности {а_n}, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такой номер N (зависящий от , т.е. N= N()), что для всех членов последовательности с номерами n > N верно неравенство |a_n - А| < .

Предел числовой последовательности обозначается или a_n  А при n   (говорят, что последовательность стремится к А при стремлении n к бесконечности).

Если последовательность имеет предел, ее называют сходящейся, а в противном случае - расходящейся.

Итак, .

Смысл определения предела числовой последовательности состоит в том, что для достаточно больших n члены последовательности как угодно мало отличаются от числа А (по абсолютной величине меньше, чем на число , каким бы малым оно ни было).

Можно доказать, что последний пример последовательности сходится к единице, т.е. что (1 + (-1)ⁿ/n)  1 при n  . Рассмотрим |(1 + (-1)ⁿ/n) - 1| = |(-1)ⁿ/n| = 1/n. Для  > 0 1/n <  при n > 1/. Определим N= N(), как целую часть от 1/. Таким образом, для . Утверждение доказано.

Если вспомнить, что множество точек a_n на числовой прямой таких, что неравенство |a_n - А| <  (где  > 0) называется -окрестностью точки А, то можно определить предел последовательности по-другому, геометрически (см. рисунок 2.2). Число А есть предел числовой последовательности {а_n}, если для любого  > 0 найдется номер N, начиная с которого все члены последовательности будут заключены в -окрестности точки А. Вне этой -окрестности может быть лишь конечное число членов данной последовательности.

Рисунок 2.2 – Геометрический смысл предела последовательности