62. Теоремы Лагранжа и Коши.

Т еорема Лагранжа: пусть функция f(х) непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема на интервале (a; b), тогда внутри интервала существует такая переменная , что .Доказательство:Рассмотрим вспомогательную функцию Тогда посмотрим: Ф-ия непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на интервале (a,b) как сумма , т.е. эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Роля  ( =существует) , такая, что и , что и требовалось доказать. Отсюда еще утверждение теоремы, что угловой коэф. касат. = угловому коэф. секущей.

a c b (дополнительное определение: теорема Ролля. Пусть f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на интервале (a,b) и пусть на концах отрезка ф-ия принимает одинаковые значения, поскольку она там определена (f(a)=f(b)), тогда существует переменная такая, что )). Следствие из теоремы: (a<c<b)  формула конечных приращений Лагранжа. a<c<x (c – между a и x!) Теорема Коши: Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [ ] и дифференцируемы на интервале ( ), причем . Тогда (существует такая переменная с из интервала (a; b) (с – между а и b!), что …).Доказательство: Покажем, что если , то  . Действительно, для [ ] и g(x) выполнены условия теоремы Лагранжа. , и Введем в рассмотрение вспомогательную функцию: . Покажем, что функция  удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: Ф-ия непрерывна на отрезке [ ] и дифференцируема на интервале ( ) как сумма . ,  отсюда . Значит, по теореме Ролля такая, что и (делим на ) - получили исходную формулу, что и требовалось доказать.

Вопрос 63

Теорема Лопиталя: Предел отношений бесконечно малых и бесконечно больших функций равен пределу отношений производных, конечному или бесконечному, если последний существует в указном смысле.

Если имеется неопределенность вида или , то

Рассмотрим доказательство теоремы для неопределённости вида при .

Для простоты будем предлагать, что функции f(x) и g(x) , а также их производные непрерывны в точке , причём и .

В этом случае

Применяя теорему Лагранжа для функции f(x) и g(x) на отрезке , получим

,

где .

При в силу непрерывности производных f’(x) и g’(x) имеет и . Используя теорему о пределе частного двух функций, получим равенство

 64.Формулы Тайлора и Маклорена Если функция f(x) имеет в точке а и некоторой её окрестности производные вплоть до (n+1)-го порядка,то для любого значения х из указанной области (х не=а).Формула Тайлора широко используется для приближённого вычисления значений функций вблизи точки а.  Формула Маклорена является частным случаем формулы Тайлора для а=0.В частном случае,когда а=n – натуральное число,имеет место формула бинома Ньютона. Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.Если функция f(x) имеет в точке а и некоторой её окрестности производные вплоть до (n+1)-го порядка,то для любого значения х из указанной области (х не=а).Формула Тайлора широко используется для приближённого вычисления значений функций вблизи точки а. Формула Маклорена является частным случаем формулы Тайлора для а=0.В частном случае,когда а=n – натуральное число,имеет место формула бинома Ньютона.

Пусть функция f(x) имеет n+1 производную в некоторой окрестности точки a, U(a, ). Пусть

Пусть р – произвольное положительное число

Тогда точка при x<a или при x>a

65 вопрос. Признаки постоянства и монотонности функции. Функция y=f(x) называется возрастающей(убывающей) на промежутке Х, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее(меньшее) значение функции.

Пусть х1, х2 Х и х2 > х1. тогда функция возрастает на промежутке Х, если f(х2)> f(x1) и убывает, если f(х2)< f(x1).

Теорема. Для того чтобы функция f(x) была постоянна на интервале (а,b) нобходимо и достаточно, чтобы f’(x)=0.

Доказательство. Пусть производная равно 0 для любого Х из (a,b) , тогда f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)=f(x0)

Если функция постоянна то производная равна о.

Теорема. Для того, чтобы f(x) убывала(возрастала) на интервале (a,b) необходимо и достаточно, чтобы f’(x0)

Доказательство. Возьмем х1, х2 из промежутка (a,b). х2 > х1.

Необходимость: пусть f’(x0) . По теореме Лагранжа существует с така что f’(с) =

= f’(c)(x2-x1)

f’(c)>0, (x2-x1)>0, следовательно >0 т.е. функция возрастает.

Достаточность. Пусть функция возрастает. Тогда рассмотрим разность

>0. перейдем к