32. Коэффициент Гудмена-Краскала λb, его свойства, вероятностная интерпретация и интервальные оценки (таблицы rХs).
где
;
Если
,
то существует однозначная или
взаимооднозначная зависимость Y
от X, т.е. Y
жестко связан с X или
связан по вероятности.
Если
,
то Y не зависит от X,
т.е. информация об X не
улучшит прогноза Y, а также
когда все максимальные значения
наблюдаемых частот по строкам находятся
в одном столбце, соответствующей
максимальной маргинальной частоте, что
является главным недостатком коэффициента.
Вероятностный смысл – показывает снижение вероятности ошибки предсказания признака Y при известной информации о принадлежности наблюдения к некоторому классу признака X по сравнению с ситуацией, когда информация отсутствует.
Интервальная оценка:
где
-
сумма только таких максимальных элементов
строк, для которых значение i
обеспечивает попадание в столбец с
наибольшим итогом.
33. Коэффициент Гудмена-Краскала λ, его свойства, вероятностная интерпретация и границы определения (таблицы rХs).
где ; ; ;
В числителе λ сумма числителей λa и λb, а в знаменателе сумма знаменателей λa и λb.
Вероятностный смысл – показывает снижение вероятности ошибки предсказания признака при известной информации о принадлежности наблюдения к некоторому классу другого признака по сравнению с ситуацией, когда эта информация отсутствует.
Для λ выполнено
.
Но это не интервальная оценка.
34. τ-меры Гудмена-Краскала. Их отличие от коэффициентов λ Гудмена-Краскала.
Коэффициенты основаны на сравнении ситуаций, когда есть информация о принадлежности наблюдений к тому или иному классу и когда этой информации нет. Отличие τ-мер от коэффициентов λ Гудмена-Краскала состоит в методе предсказания. τ-мера предсказывает не наиболее вероятную категорию, а различные категории в пропорции, которая имеет место для их наблюдаемых итогов.
Асимметричные τ-меры показывают на сколько процентов уменьшится неправильный прогноз категории одного признака для случайно взятого объекта при условном пропорциональном прогнозировании по сравнению с безусловным.
Симметричная τ-мера показывает на сколько процентов уменьшится неправильный прогноз категории для случайно взятого объекта при условном пропорциональном прогнозировании по сравнению с безусловным.
Но это не интервальная оценка.
35. Простейшая мера связи между упорядоченными признаками, ее недостатки.
Рассматривается пара наблюдений, одно из которых имеет категорию i переменной X и j переменной Y, а второе i` переменной X и j` переменной Y.
S – общее число пар наблюдений, для которых либо одновременно i>i` и j>j`, либо одновременно i<i` и j<j` (юго-восточнее или северо-западнее элемента)
D – общее число пар наблюдений, для которых либо одновременно i>i` и j<j`, либо i<i` и j>j` (северо-восточнее или юго-западнее элемента)
Ta – общее число пар наблюдений, для которых i=i` (в этой строке)
Tb – общее число пар наблюдений, для которых j=j` (в этом столбце)
S – число положительных
слагаемых в сумме
D – число отрицательных слагаемых в сумме
Ta + Tb – число нулевых слагаемых в этой сумме
Простейшая t-мера ta
В данных нет совпадений ->
и
≠0
изменяется
от –n(n-1) до
n(n-1) ->
Недостатки:
не достигает
Ее истинные границы определяются числом нулей в данных
36. t-меры Кендэла для упорядоченных признаков и их свойства
Рассматривается пара наблюдений, одно из которых имеет категорию i переменной X и j переменной Y, а второе i` переменной X и j` переменной Y.
S – общее число пар наблюдений, для которых либо одновременно i>i` и j>j`, либо одновременно i<i` и j<j` (юго-восточнее или северо-западнее элемента)
D – общее число пар наблюдений, для которых либо одновременно i>i` и j<j`, либо i<i` и j>j` (северо-восточнее или юго-западнее элемента)
Ta – общее число пар наблюдений, для которых i=i` (в этой строке)
Tb – общее число пар наблюдений, для которых j=j` (в этом столбце)
S – число положительных слагаемых в сумме
D – число отрицательных слагаемых в сумме
Ta + Tb – число нулевых слагаемых в этой сумме
tb –
мера Кэндела: Если нет совпадений ->
и
≠0
= tb, если нет нулевых клеток
Если в данных есть совпадения, то > tb,
tb может достигать , но только в случае квадратной таблице сопряженности, когда все наблюдения сосредоточены на положительной или отрицательной главной диагонали.
В случае прямоугольных таблиц rxs мера
достигает максимума, когда все наблюдения
лежат в клетках самой длинной диагонали
таблицы (т.е. диагонали, содержащей
m=min(v,s)
клеток) и насколько возможно поровну
распределены между этими клетками. В
этом случае
При больших объёмах (n>100)
Когда все наблюдения лежат в клетках самой длинной диагонали таблицы и насколько возможно поровну распределены между клетками, при дополнительном условии n кратно m
Может достигать приблизительно для любых таблиц rxs
При больших объёмах выборки
Если равны все частоты в маргинальной
строке и все частоты в маргинальном
столбце, тогда для квадратной таблицы
.
Если таблица прямоугольная, то
37. d-меры Сомерса, их вероятностная интерпретация.
Рассматривается пара наблюдений, одно из которых имеет категорию i переменной X и j переменной Y, а второе i` переменной X и j` переменной Y.
S – общее число пар наблюдений, для которых либо одновременно i>i` и j>j`, либо одновременно i<i` и j<j` (юго-восточнее или северо-западнее элемента)
D – общее число пар наблюдений, для которых либо одновременно i>i` и j<j`, либо i<i` и j>j` (северо-восточнее или юго-западнее элемента)
Ta – общее число пар наблюдений, для которых i=i` (в этой строке)
Tb – общее число пар наблюдений, для которых j=j` (в этом столбце)
S – число положительных слагаемых в сумме
D – число отрицательных слагаемых в сумме
Ta + Tb – число нулевых слагаемых в этой сумме
У полагают зависимой от Х
Представляет собой разность между вероятностями получить правильный и неправильный порядок при случайном извлечении из совокупности 2 наблюдений, когда переменная Х не имеет совпадающих рангов.
Х полагают зависимой от У
Представляет собой разность между вероятностями получить правильный и неправильный порядок при случайном извлечении из совокупности 2 наблюдений, когда переменная Y не имеет совпадающих рангов.
38. Мера Гудмена-Краскала для упорядоченных признаков и ее свойства.
Рассматривается пара наблюдений, одно из которых имеет категорию i переменной X и j переменной Y, а второе i` переменной X и j` переменной Y.
S – общее число пар наблюдений, для которых либо одновременно i>i` и j>j`, либо одновременно i<i` и j<j` (юго-восточнее или северо-западнее элемента)
D – общее число пар наблюдений, для которых либо одновременно i>i` и j<j`, либо i<i` и j>j` (северо-восточнее или юго-западнее элемента)
Ta – общее число пар наблюдений, для которых i=i` (в этой строке)
Tb – общее число пар наблюдений, для которых j=j` (в этом столбце)
S – число положительных слагаемых в сумме
D – число отрицательных слагаемых в сумме
Ta + Tb – число нулевых слагаемых в этой сумме
Представляет собой разность между вероятностями правильного и неправильного порядка для 2 наблюдений, случайно извлеченных из совокупности, при условии, что совпадающих рангов нет.
Свойства:
γ может достигать своих пределов , если все наблюдения лежат на самой длинной диагонали таблицы.
Если Х и У независимы, то γ=0. Обратное верно не всегда. Если γ≠0, то они точно зависимы
Выборочное распределение γ приблизительно нормально
39. Определение и свойства трехмерных таблиц сопряженности. Маргинальные частоты и частные распределения признаков. См фото 2 и 3