7. Дихотомические переменные. Мнп-оценки вероятностей таблиц сопряженности (частный случай: таблицы 2х2).
Дихотомическая переменная - принимающая
2 значения (r=2, s=2).
Х: (A;
)
Y: (B;
).
Получим оценки вероятностей методом
наибольшего правдоподобия. Мультиномиальное
(полиномиальное) распределение –
элементы генеральной совокупности
разбиты на k классов.
Составим функцию правдоподобия:
.
Параметры распределения подчиняются
Оценка несмещенная.
8. Закон распределения вероятностей таблиц сопряженности (частный случай: таблицы 2Х2). При больших объёмах выборки и отсутствии малых частот по центральной предельной теореме совместное распределение nij стремится к многомерному нормальному распределению с параметрами:
;
;
;
=>
независимость признаков.
9. МНП-оценки вероятностей таблиц сопряженности при истинности гипотезы независимости. Критерий независимости - критерий согласия χ2 (частный случай: таблицы 2Х2).
Параметры распределения подчиняются
и
истинна гипотеза H0:
.
независимы =>
;
.
Оценки максимального правдоподобия соответствуют гипотезе H0.
;
Критерий согласия:
Критическая область:
,
H0 отвергается с вероятностью
ошибки α.
Область принятия решения:
H0 не отвергается на уровне
значимости α.
10. Асимптотический критерий независимости - информационный критерий (частный случай: таблицы 2х2). Асимптотическая эквивалентность критерия согласия и информационного критерия.
Критерий правдоподобия (информационный критерий):
Критическая область:
,
H0 отвергается с вероятностью
ошибки α.
Область принятия решения:
H0 не отвергается на уровне
значимости α.
Асимптотическая эквивалентность:
Подставим МНП-оценки в функцию правдоподобия.
Статистика критерия отношений правдоподобия:
,
где
- теоретические частота
11. Методы отбора объектов в выборку, свойства получаемых таблиц сопряженности.
1) Оба набора маргинальных частот фиксированы. (существует набор проб масла и маргарина, есть данные по количеству масла и маргарина, случайному человеку дают пробовать). Свойство: одна независимая частота n11 распределена по гипергеометрическому закону.
2) Один набор маргинальных частот фиксирован. Целевой отбор.
1. В зависимости от числа категорий r одномерных генеральных совокупностей.
2. Объём выборки совокупности
,
общий объём выборки
3. Отбор
объектов из генеральной совокупности
4. Для каждого объекта проверяется принадлежность к категории признака У, в зависимости от Вj объект помещается в соответствующую клетку таблицы (Такой способ отбора часто используют в медицине, когда 1 группе больных дают 1 лекарство, 2 группе – 2е, а потом смотрят результат). n1* и n2* фиксированы. Тогда n11 и n21 – независимые частоты – случайные величины, имеющие биномиальное распределение.
3) Оба набора маргинальных частот не фиксированы.
Перекрестный (cross sectional) отбор
1. Рассматривается 2мерная генеральная совокупность
2. Задается объём выборки n
3. Отбор n объектов
4. Для каждого проверяется принадлежность Х и У. В зависимости от категории объект помещают в клетку.
Случайный перекрестный отбор – отличается от перекрестного том, что объем выборки случаен (Например, количество аварий на участке дороги).