9. Заміна радикалів новими невідомими
Основним способом рішення складних ірраціональних рівнянь є заміна кожного радикала новим невідомим. Це дозволяє звести ірраціональне рівняння до системи алгебраїчних рівнянь.
Приклад. Розв’язати рівняння
.
Введемо позначення
,
і при цьому приходимо до системи алгебраїчних рівнянь
.
У першу
чергу виключаємо невідоме
.
Звідси
знаходимо рішення
,
,
.
Приклад. Розв’язати рівняння
.
Позначимо радикали
Рівняння зводиться в систему рівнянь
У першу
чергу виключаємо невідоме
.
Одержимо рівняння
.
Яке розкладається на множники
.
Розвязуемо рівняння
Корінь
не задовольняє рівнянню.
Приклад. Розв’яжемо рівняння
.
Вводимо позначення
Рівняння зводиться до системи рівнянь
Розкладемо перше рівняння на множники
.
Вирішуємо рівняння
1)
2)
,
.
10. Уведення параметра
Також і в алгебраїчні рівняння можна вводити допоміжний параметр, що спрощує рішення рівнянь.
Приклад. Розв’язати рівняння
.
Запишемо рівняння у виді
.
Заміна
приводить рівняння до виду
.
Уводимо
параметр
,
думаючи
.
Одержимо ірраціональне рівняння з параметром
,
.
Одержимо квадратне рівняння відносно
.
Знаходимо рішення
,
.
Для
відшукання
одержимо рівняння
,
,
,
,
.
Звідси знаходимо значення
,
,
,
.
Корені , — сторонні.
Приклад. Розв’язати рівняння
.
Уводимо
параметр
.
Одержимо рівняння
,
.
Звільняючись від ірраціональності, одержимо рівняння
,
.
Підставляючи значення , одержимо рішення
,
,
,
,
.
Рівняння
задовольняє лише корінь
.
Приклад. Розв’язати рівняння
.
Знаходимо ОДЗ
.
Зводимо обох частин рівняння в квадрат
;
,
,
,
.
Корінь
не входить в ОДЗ. Якщо
,
то
.
Знайдемо значення
,
при яких маємо корінь
.
Підставимо
у вихідне рівняння
;
,
;
.
Відповідь:
при
;
при
.
11. Рівняння з модулями
Рівняння з модулями примикають до ірраціональних рівнянь, тому що
. (6)
Звичайно
використовують визначення
по формулі.
.
Приклад. Розв’язати рівняння
.
Припустимо,
що
й одержимо рівняння
.
Якщо
,
то
,
.
Приклад. Розв’язати рівняння
.
Знайдемо точки, у яких модулі звертаються в нуль
,
;
,
.
Ці точки розбивають числову вісь на частині, у кожній з який вираження під знаком модуля не змінюють знак.
1)
;
,
;
2)
;
,
маємо тотожності;
3)
;
,
.
Відповідь
.
Приклад. Розв’язати рівняння
.
Знайдемо
точки, де
,
,
.
Розглядаємо всякі окремі випадки.
1)
,
,
;
2)
;
,
;
3)
;
,
.
Приклад. Розв’язати систему рівнянь
Розглянемо усякі випадки
1)
,
. Знайшли
рішення системи.
2)
,
. Рішення
не задовольняє умові.
3)
,
. Рішення
не задовольняє умові.
4) ,
. Знайшли
рішення системи.
З формули (6) випливають правила внесення і винесення множників під радикал
. (7)
Якщо множник вноситься під радикал, то поза радикалом залишається знак множника .
Приклад. Розв’язати рівняння
.
Помножимо
рівняння на
,
.
.
Розглянемо можливі випадки.
1)
.
Вносимо позитивний множник під знак
радикала
,
,
,
.
;
,
.
Корінь
не задовольняє умові. Відповідь
.
2)
.
Вносимо негативний множник під знак
радикала по формулі (7)
,
,
,
,
.
,
,
.
Корінь
не задовольняє умові. Відповідь
.