1.9 Уравнение и пф замкнутых импульсных систем

Структурная схема замкнутой АИС имеет вид:

W_пр(q)- передаточная функция приведенной непрерывной части.

- импульсная переходная функция приведенной непрерывной части.

Переход от непрерывной формы к дискретной (1.9.3) возможен т.к. простейший ИЭ реагирует на входные воздействия только в дискретные моменты времени.

Подставим уравнение (1.9.3) в (1.9.1). Получим уравнение:

Уравнение разомкнутой ИС относительно изображений может быть записано в виде

Здесь W(q,ε)- ПФ разомкнутой импульсной системы.

Полагая в уравнении (1.9.6) ε=0, получим уравнение разомкнутой АИС в виде

Подставим (1.9.7) в (1.9.5) и получим изображение ошибки АИС:

Уравнение (1.9.8) описывает процессы в замкнутой АИС в дискретные моменты времени .

Подставив (1.9.8) в (1.9.6) получим уравнение замкнутой АИС, описывающее процессы в ней в любой момент времени , 0 <ε < 1

- главная ПФ замкнутой системы

Выражение (1.9.10) описывает выходную величину в любой момент времени при 0≤ ε ≤ 1.

При ε = 0:

(1.9.12)

Переходя к оригиналам выходную величину замкнутой системы можно определить согласно выражению

где - импульсная переходная функция замкнутой системы

Необходимо отметить, что ПФ замкнутой АИС, также как ПФ разомкнутой системы является периодической функцией вдоль мнимой оси комплексной плоскости q, т.е.

.

1.10 Частотные характеристики импульсных систем

Частотные характеристики ИС определяются аналогично частотным характеристикам непрерывных систем. Но если в непрерывных линейных системах имеем

то здесь вводятся величины

Амплитудно – фазовая частотная характеристика определяется в виде:

Аналогично линейным системам частотные характеристики ИС можно найти с помощью дискретного преобразования Фурье импульсной переходной функции системы.

(1.10.5)

k[n,ε] – импульсная переходная функция;

Используя – преобразование частотные характеристики импульсной системы можно получить по частотным характеристикам непрерывной системы.

(1.10.6)

ε – смещение решетчатой функции

Частотные характеристики ИС обладают следующими свойствами:

1) Частотные характеристики зависят не только от , но и от смещения : Зависимость от ε приводит к появлению семейства частотных характеристик. Для решения задачи устойчивости системы часто бывает достаточно одной характеристики при ε = 0.

2) В соответствии с периодичностью ПФ ИС частотные характеристики также будут периодичны с периодом и полностью определяются в полосе частот .

3) В крайних точках интервала АФХ принимает, согласно (1.10.5), вещественные значения.

4) При возрастании частоты квантования , или при убывании периода Т, частотные характеристики ИС стремятся к частотным характеристикам непрерывных систем. При этом интервал который для реальной частоты имеет вид растягивается на всю мнимую ось jω при .

В простых случаях ЧХ ИС могут быть построены непосредственно по выражениям , а в сложных – приближенными численными или графическими методами.

В качестве примера рассмотрим построение АФЧХ импульсного фильтра с ПФ для этого случая ПФ ИС была получена ранее:

Уравнением ( ) описывается единичная окружность. Поэтому и функция - как дробно-рациональная функция от z отобразится также в окружность или прямую. При изменении частоты в интервале получаем полуокружность, причём в крайних точках , согласно (1.10.5) имеем:

Абсцисса центра окружности (рисунок 1.10.1).

β₁ > β₂> β₃

Рисунок 1.10.1

С уменьшением величины β=Т/Т₁ радиус окружности увеличивается. При β = 0 окружность вырождается в прямую линию, параллельную мнимой оси.

В более сложных случаях можно использовать следующие два способа для построения ЧХ ИС.

1. Используется выражение (1.10.3), учитывая, что

С учетом этого и используя - преобразование, получим:

При ε = 0

(1.10.9)

Если представить частотную ПФ непрерывной части в алгебраической форме:

При вычислениях ограничиваются конечным числом слагаемых. Для того чтобы, пользуясь выражением (1.10.9), построить частотную характеристику импульсной системы, нужно построить ряд характеристик непрерывной системы, смещенных относительно друг друга вдоль оси w на частоту повторения w₀ и просуммировать ординаты всех смещенных характеристик, умноженные на 1/Т.

На основе 1.10.11 и 1.10.12 можно найти амплитудную и фазвую частотные характеристики ИС.

(1.10.13)

На рисунке 1.10.2 построена амплитудная частотная характеристика modW_пн(jw) приведенной непрерывной части. Полосу частот – w_пн < w < w_пн, за пределами которой ординатами частотной характеристики приведенной непрерывной части можно пренебречь, назовем полосой пропускания.

Рисунок 1.10.2

Рисунок 1.10.3

На рисунке 1.10.3 приведена амплитудная частотная характеристика дискретной ПФ при условии .Из рисунка 1.10.3 видно, что в полосе частот от – w₀ до + w₀ частотные характеристики импульсной и непрерывной системы отличаются за счет того, что происходит наложение смещенных характеристик друг на друга. Физически такое искажение частотной характеристики непрерывной части означает определенную потерю информации при передаче импульсным элементом значений непрерывного сигнала. Если увеличить частоту w₀ работы импульсного элемента до значения w₀ > 2w_пн, то частотные характеристики непрерывной системы и импульсной в полосе пропускания совпадут.

2. Второй способ основан на использовании выражения 1.10.6 при =0

Поскольку в физически реализуемых системах выполняется условие

, то возьмём только три слагаемых; r = -1, r = 0, r = 1, тогда

(1.10.14)

Будем считать, что задана АФХ приведенной непрерывной части ИС (рис. 1.10.4). Обозначим на ней безразмерные значения частот . Возьмём одно какое –либо значение . Вектор 1 обозначает . К нему согласно (1.10.14) нужно добавить вектор , но . Поэтому этот вектор найдём по комплексно сопряженному вектору , взяв точку . Там же показан третий вектор .

2 2

Рис. 1.10.4

Сложив геометрически эти три вектора, получим согласно (1.10.14) одну точку искомой характеристики . Проделав то же самое для ряда точек , найдём всю характеристику .

Для замкнутой ИС в соответствии с формулой

, при ε = 0 получаем частотную характеристику

.

Представив её в алгебраическом виде , или в виде , можно по формулам и номограммам непрерывных систем найти ВЧХ , МЧХ , АЧХ и ФЧХ замкнутой ИС.