1.4 Разности решетчатых функций и разностные уравнения

Скорость изменения РФ характеризуется ее первой разностью или разностью первого порядка, являющейся аналогом первой производной для непрерывных функций.

Рисунок 1.4.1

Различают левые и правые разности:

(1.4.3)

П

ример:

Соотношение между РФ y[n] и ее разностями называется разностным уравнением или уравнением в конечных разностях.

(1.4.4)

Если в уравнении (1.4.4) разности РФ заменить соответствующими РФ из выражений (1.4.1,1.4.2), то получим следующую форму записи разностного уравнения:

(1.4.5)

Порядок разностного уравнения может не совпадать порядком наивысшей разности, обычно порядок уравнения определяется после приведения к виду (1.4.5). Если выражение содержит РФ вида y[n] и y[n+K], то оно имеет порядок К.

Это положение иллюстрируется следующим примером:

Произведём замену . В результате получили разностное уравнение первого порядка:

Дискретные системы во временной области описываются разностными уравнениями также, как непрерывные – дифференциальными.

1.5 Дискретное (d) преобразование Лапласа.

Дискретное преобразование Лапласа является функциональным преобразованием РФ и определяется соотношением:

(1.5.1)

Если сравнить с преобразованием Лапласа непрерывных функций (1.5.2), то легко найти аналогию между ними.

Изображение F^*(q,) существует, если ряд (1.5.3) сходящийся. Значение , при котором – ряд сходится, а при – расходится, называется абсциссой сходимости. Если для данной РФ f[n] абсцисса сходимости , то ряд (1.5.1 или 1.5.3) сходится при всех значениях q, удовлетворяющих условию Re q > σ_c . В этом случае РФ называется преобразуемой.

Если РФ имеет ограниченный порядок роста, т.е. – то изображение РФ существует.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.

Рисунок 1.5.1

(1.5.4)

Сумма S бесконечно убывающей прогрессии имеет вид:

a₁ - первый член геометрической прогрессии, d - знаменатель прогрессии (отношение последующего члена прогрессии к предыдущему).

Пример 2.

При =0, получим

(1.5.7)

Рассмотрим теперь на плоскости комплексного переменного q. Так как является функцией , а является периодической функцией вдоль мнимой оси на плоскости комплексной переменной q, то F^*(q), также является периодической функцией вдоль мнимой оси плоскости q и полностью определяется при в любой полосе шириной 2π параллельной оси абсцисс.

Обычно выбирают такую полосу симметрично относительно оси абсцисс -π < Im q <π (рисунок 1.5.2).

Рисунок 1.5.2

1.6 Основные теоремы, правила d-преобразования

1. Свойство линейности.

Изображение линейной комбинации РФ соответствует линейной комбинации их изображений.

(1.6.1)

2. Теорема смещения оригиналов в области независимого переменного (теорема сдвига).

Смещение независимого переменного на величину ±k соответствует в области изображений умножению на .

(1.6.2)

при условии

3. Изображение разности.

Операция взятия «к-ой» разности в области оригинала, в области изображения соответствует умножение на сомножитель при нулевых начальных условиях.

(1.6.3)

при нулевых начальных условиях.

4. Изображение суммы.

Суммирование в области оригинала соответствует в области изображений делению на .

(1.6.4)

5. Теорема свертывания в вещественной области или умножение изображений.

Произведению изображений соответствует в области оригиналов сумма:

(1.6.5)

6. Теорема о конечном значении РФ

(1.6.6)

Прямое D преобразование:

(1.6.7)

Обратное D преобразование:

(1.6.8)