2.15.3 Методические ошибки дифференцирования

Рассмотрим методическую ошибку получения первой производной стационарного случайного сигнала g(t), обладающего свойством эргодичности. Для этого сигнала можно найти следующие функции:

корреляционную функцию ,

корреляционную функцию первой производной: ,

взаимную корреляционную функция ,

где М – математическое. ожидание.

Ошибка определения первой производной в дискретные моменты времени может быть определена как разность между действительным и машинным значениями производной.

(2.15.3.1)

Возведем левую и правую часть этого выражения в квадрат и, определяя математическое ожидание, получим выражение средней квадратичной ошибки или дисперсии:

Если m_g = 0, то R(0) = σ_g².

Относительная ошибка вычисления СКО:

(2.15.3.3)

где – ошибка машинного времени; – среднеквадратическое значение скорости (первой производной сигнала g(t)).

Для гармонического сигнала:

Если математическое ожидание g(t) равно нулю, то при .

С учетом выражения (2.15.3.2) для произвольного числа m, учитываемых обратных разностей приближенно можно записать:

Полученное выражение позволяет выбрать период дискретности Т по заданному значению методической ошибки δ_М, при известном значении числа слагаемых m или, наоборот, определить число слагаемых, при заданных методической ошибке и периоду дискретности Т.

(2.15.3.14)

Приближенную оценку (2.15.3.13) можно распространить на случай сигнала произвольной формы. Пусть непрерывный входной сигнал имеет (m+1) производных, а в алгоритме дифференцирования используются обратные разности Оценим ошибку от отбрасывания не равной нулю обратной разности Ошибка дифференцирования пропорциональна отбрасываемому члену.

.

Приближенно можно записать:

Тогда

.

Возведя в квадрат левую и правую части этого выражения и переходя к математическому ожиданию получаем СКО по дифференцированию.

где – среднеквадратическое значение производной входного сигнала,

– СКО первой производной.

При m_g = 0:

2.15.4 Влияние шумов квантования

Квантование по уровню вызывает появление дополнительной ошибки, носящей случайный характер. На выходе АЦП появляется дискретный сигнал, содержащий l шагов квантования q. (рисунок 2.15.4.1)

Δq – абсолютная ошибка квантования.

Рисунок 2.15.4.1

Остаток ∆q обычно округляют до ближайшего сверху или снизу к значению g_q целому числу. Будем предполагать, что величина ошибки генерируется быстроменяющимся сигналом, который можно рассматривать как белый шум, плотность распределения вероятности которого имеет вид: (рисунок 2.15.4.2)

Рисунок 2.15.4.2

Среднее значение:

(2.15.4.1)

Дисперсия определяется как математическое ожидание квадрата разности:

(2.15.4.2)

Корреляционная функция белого шума представляет собой δ-функцию. поэтому корреляционная функция ошибки квантования может быть представлена:

– единичная решетчатая функция.

Тогда для дискретных моментов времени случайные ошибки квантования можно считать взаимно-независимыми, что позволяет определить дисперсию результирующей ошибки квантования при вычислении производной путем суммирования дисперсий ошибок квантования в дискретные моменты времени.

В случае вычисления первой производной суммарная дисперсия ошибки округления имеет вид:

(2.15.4.3)

где