2.12.1 Последовательный импульсный фильтр

Рисунок 2.12.1.1 – Последовательный импульсный фильтр

Э₀ на выходе указывает на то, что цифровой сигнал, прежде чем поступить на вход непрерывной части подвергается цифроаналоговому преобразованию. ПФ Wd(S) соответствует произвольной электрической цепи; однако из соображений простоты и дешевизны, предпочтение отдается R-C-четырехполюсникам.

На основании рисунка (2.12.1.1) имеем:

(2.12.1.1)

(2.12.1.2)

Выражение (2.12.1.2) позволяет определить ПФ Wd(s) четырехполюсника по заданной ПФ Wк(s). Для реализации четырехполюсника в виде R-C – цепи полюса Wd(s) должны быть вещественными и отрицательными, нули могут быть любыми.

Представим Wd(S)/S в виде суммы элементарных дробей:

где А₀ и А_i – коэффициенты, S_i – простые отрицательные действительные полюсы.

Это разложение имеет один полюс z = 1, а остальные положительные, вещественные и меньше 1. Сравнивая (2.12.1.4) и (2.12.1.2) сделаем выводы:

Для соответствия Wd(s) R-C-четырехполюснику ПФ Wк(z) должна обладать следующими свойствами:

- число полюсов должно быть больше числа нулей или равно ему.

- полюса Wк(z) должны быть вещественными, положительными и меньше 1.

- нули Wк(z) могут быть любыми.

Пример:

Задана ПФ ЦР. . Период квантования Т = 1c. Необходимо определить Wd(S) и схему R-C-четырехполюсника.

Поскольку Wk(Z) удовлетворяет трем сформулированным условиям, то подставляем в (2.12.1.4), получим:

(2.12.1.5)

Разложим (2.12.1.5) на элементарные дроби:

Таким образом

(2.12.1.6)

ПФ (2.12.1.6) реализуется в виде:

Рисунок 2.12.1.2

ИФ получится если дополнить эту схему на входе и выходе квантователями и фиксаторами.

2.12.2 Импульсный фильтр в цепи ос

Рисунок 2.12.2.1 Рисунок 2.12.2.2

Рисунок 2.12.212 соответствует импульсному фильтру в цепи ОС. ПФ Wос соответствует четырехполюснику, предпочтительно R-C-цепи. Для того, чтобы ПФ схем (рисунок 2.12.2.1 и рисунок 2.12.2.2) совпадали должно выполнятся условие:

Данная задача соответствует случаю коррекции с помощью аналогого регулятора в цепи ОС. Рассуждая аналогично требованиям к виду Wк(z) получим, чтобы Wос(s) была физически реализуема в виде R-C-цепи:

1. Wk(Z) должна иметь одинаковое число нулей и полюсов;

2. Полюсы Wk(Z) могут быть произвольными;

3. Нули Wk(Z) должны быть вещественными, положительными и лежать внутри единичной окружности.

Следует подчеркнуть, что при данной структуре ограничения накладываются на положение нулей, а не полюсов Wk(Z), которые могут лежать вне единичной окружности и, следовательно, регулятор неустойчив.

2.12.3 Комбинированный импульсный фильтр

Рассмотренные два случая не позволяют реализовать цифровой регулятор с комплексными полюсами и нулями, а также нулями и полюсами по модулю больше единицы. Однако, то обстоятельство, что при последовательном импульсном фильтре произвольными могут быть нули, а в импульсном фильтре в цепи ОС произвольными могут быть полюса, позволяет снять ограничения на вид W_k(z) (за исключением условия физической реализуемости) в комбинированном импульсном фильтре представляющим собой совокупность выше рассмотренных типов ИФ (рисунок 2.12.3.1).

Можно показать, что любая физически реализуемая ПФ Wk(Z) может быть представлена в виде следующей структуры:

Рисунок 2.12.3.1 – Комбинированный импульсный фильтр

Для рисунка 2.12.3.1 можно записать:

Выражение (2.12.3.3) соответствует последовательному типу ИФ. Выражение (2.12.3.4) – ИФ в цепи ОС.

(2.12.3.5)

К реализуемым относятся нули и полюса, которые являются вещественными, положительными и по модулю меньше единицы. К нереализуемым относятся нули и полюса, которые являются комплексными, отрицательными и по модулю больше единицы. В общем случае это требование не выполняется.

Получение выражений (2.12.3.5) из Wk(Z) возможно лишь при выполнении следующих условий:

1) Число реализуемых полюсов равно числу нереализуемых нулей Wk(Z);

2) Число реализуемых нулей Wk(Z) равно числу нереализуемых полюсов Wk(Z).

Рассмотрим общий случай, когда эти условия не выполняются.

Так как эти ПФ имеют неодинаковое количество нулей и полюсов, то их нельзя реализовать в виде R-C-четырехполюсника. Для выхода из затруднения вид функции и изменяют следующим образом:

,

.

Где а и b действительные числа; 0<a<1; 0<b<1; а≠b, кроме того, а и b не равны другим полюсам и нулям Wk(z).