2.11.2 Синтез с помощью w-преобразования

Рассмотрим прямой метод синтеза цифровых САУ с аналоговыми регуляторами, основанный на применении W – преобразования. Этот метод не связан с какой-либо аппроксимацией УВХ.

Применительно к структуре с последовательным аналоговым КУ методика синтеза состоит из следующих этапов:

Методика синтеза последовательного КУ:

1. Определяем ПФ нескорректированной системы в W – форме.

2. Строим логарифмические и частотные ( ) характеристики нескорректированной системы и определяем запасы устойчивости.

3. В случае необходимости методами непрерывных систем находятся ПФ последовательного КУ Wку(w). Следует отметить, что Wку(w) может не иметь прямой аналогии на s- плоскости.

4. По полученной ПФ скорректированной системы

Wск(w) = Wэ(w)Wку(w)Wоб(w) переходят сначала к выражению Wск(s), а затем уже находят Wку(s) = Wск(s)/(Wэ(s)Wоб(s)).

Важно отметить, что ПФ Wку(s) должна быть физически реализуемой т.е. степень знаменателя должна быть не меньше степени числителя. Желательно также, чтобы Wkу(S) могла быть реализована в виде схемы, содержащей только R и C. Отсюда вытекают следующие требования к Wkу(S).

а) полюсы функции Wky(S) должны лежать в левой полуплоскости и быть простыми и вещественными;

б) Количество полюсов Wky(S) должно быть больше числа нулей или равно ему. В общем случае нули Wky(S) могут быть как в левой, так и в правой pl, полюса только в левой.

5. Если найдено Wэ(w)Wку(w)Wоб(w) то, чтобы получить Wэ(s)Wку(s)Wоб(s) необходимо сделать обратный переход от переменной W к переменной S.

(2.11.2.1)

Выражение в правой части раскладывается на простые слагаемые, затем с помощью подстановки w = находят z- изображение каждого слагаемого, а затем с помощью таблиц соответствия находится отношение , а из него находится W_ку (s) т.к. ПФ объекта известна.

Из-за несоответствия нулей и полюсов на плоскостях s и w ПФ Wку(s) обычно физически нереализуема. Чтобы сделать Wку(s) физически реализуе-мой, нужно добавить требуемое число удаленных полюсов слабо влияющих на динамические свойства системы.

Пример: Решим ту же задачу, что и в предыдущем случае, но с помощью w-преобразования.

Необходимо найти ПФ нескорректированной системы:

Рисунок 2.11.2.1

Из рисунка 2.11.2.1 видно, что ФЧХ пересекает уровень –180 при частоте ω*=1 и нескорректированная система практически не имеет запаса по фазе. Чтобы получить запас 45 градусов, частоту среза нужно сдвинуть в точку ω*=0.4, где mod(WэWоб(W)) = 8 дБ.

Выберем КУ фазоотстающего типа.

Для исключения влияния коррекции на запас по фазе выберем

Найдём ПФ разомкнутой системы в Z-форме с помощью подстановки .

Переходная функция скорректированной системы:

Рисунок 2.11.2.2

Из рисунка 2.11.2.2 видно, что система скорректирована лучше, чем в предыдущем случае.

Для завершения процедуры синтеза необходимо найти W_k(s).

Выражение в скобках обозначим и его необходимо разложить на простейшие слагаемые. При этом нужно учитывать вид ПФ . Поскольку имеет два полюса s= 0, а согласно таблице операционных соответствий функции соответствует W- преобразование, содержащее в числителе член , то чтобы сохранить этот член, необходимо раскладывать на элементарные дроби выражение .

Для обеспечения физической реализуемости ПФ W_k(S) в выражение КУ добавлен удаленный полюс s=10 (постоянная времени Т_i = 0,1c).