1.14.3 Аналог критерия Найквиста

Рассмотрим ПФ разомкнутой импульсной системы:

Примем =0 и введём вспомогательную функцию

, (1.14.15)

где - характеристический полином замкнутой системы, - характеристический полином разомкнутой системы , порядки полиномов равны между собой и равны m.

Из аналога критерия Михайлова следует, что для устойчивости замкнутой системы необходимо выполнение условия:

(1.14.16)

Возможны три случая состояния разомкнутой системы:

Устойчивая разомкнутая система

В этом случае по аналогу критерия Михайлова можно записать .

Поскольку замкнутая система должна быть устойчивой, то

а приращение аргумента вспомогательной функции

Т.е. годограф не должен охватывать начало координат.

Таким образом, для устойчивости замкнутой системы, при устойчивой разомкнутой, необходимо и достаточно, чтобы годограф вспомогательной функции не охватывал начало координат, а соответствующий годограф АФХ не охватывал точку (рисунок 1.14.4).

Рисунок 1.14.4

В случае астатической системы степени ν также как и для непрерывных систем, годограф АФХ (рис.1.14.5) дополняется дугой бесконечного радиуса на угол , затем применяется предыдущий критерий.

ν=1

Рисунок 1.14.5

В случае неустойчивой разомкнутой системы уравнение имеет l корней вне окружности единичного радиуса, то , при .

Тогда приращение аргумента вспомогательной функции

Для устойчивости замкнутой системы при неустойчивой разомкнутой необходимо и достаточно, чтобы разность числа положительных и отрицательных переходов годографа АФХ (рисунок 1.14.6) через отрезок действительной оси (- 1; j0) была равна .

Рисунок 1.14.6

Например, если разомкнутая система неустойчива и имеет два правых корня ( ), то согласно рис.1.14.6 замкнутая ИС будет устойчива.

2 Цифровые системы автоматического управления

2.1 Основные понятия цифровых сау

Одно из самых перспективных направлений создания совершенных автоматических систем связано с применением для целей управления цифровых вычислительных машин (ЦВМ).

Основные достоинства от введения ЦВМ в замкнутый контур:

1. Более высокая точность при относительно низкой стоимости. Точность непрерывных (аналоговых) САУ определяется точностью входящих в них устройств. Поэтому с увеличением точности, стоимость таких систем растет нелинейно (рисунок 2.1.1). Точность ЦСАУ определяется числом разрядов в машинном числе, поэтому точность определяется количеством оборудования и стоимость с увеличением точности растет, практически, линейно.

Рисунок 2.1.1

2. Гибкость управления, т.е. алгоритм управления может быть легко изменен изменением программы, а не изменением аппаратной части как в аналоговых (непрерывных) системах. Это значительно проще и дешевле, чем изменение аппаратной части в непрерывных системах.

3. Возможность организации более сложных (адаптивных и т.п.) алгоритмов управления.

4. Возможность реализации других (вспомогательных) целей управления, улучшающих эксплуатационные свойства системы.

Недостатки:

1. На процесс вычисления затрачивается определенное время, что приводит к появлению чистого запаздывания в цифровых системах.

2. В цифровых системах проявляются нелинейные свойства из-за квантования по уровню и импульсные свойства из-за квантования по времени.

Перечисленные недостатки приводят к уменьшению быстродействия ЦСАУ по сравнению с аналоговыми.

По характеру связи между ЦВМ и САУ их делят на автономные и не автономные.

Под автономными понимают САУ (рисунок 2.1.2) в которой ЦВМ служит лишь в качестве источника входной информации, т.е. выполняет функции задающего устройства. Вычисление сигнала ошибки, цифровая коррекция динамических свойств осуществляется при этом ДВУ.

ДВУ – дополнительное вычислительное устройство;

ПКН – преобразователь код- напряжение (цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП));

УПУ – усилительно преобразовательное устройство;

ИЭ – исполнительный элемент;

ОУ – объект управления;

ИУ – измерительное устройство;

УМ – усилитель мощности;

ЦВМ – цифровая вычислительная машина;

ЧЭ – чувствительный элемент;

ПНК – преобразователь код-напряжение или аналогово-цифровой преобразователь.

Рисунок 2.1.2 – Структурная схема автономной системы.

Если сравнение задаваемого и обрабатываемого кодов происходит в самой ЦВМ, то такая система (рисунок 2.1.3) называется неавтономной. При этом задача цифровой коррекции возлагается также на ЦВМ.

Рисунок 2.1.3 – Структурная схема неавтономной системы.

Внешне эти системы отличаются несущественно. Но они могут значительно различаться в динамических свойствах, т.к. допустимая частота квантования ( период дискретности) этих систем неодинакова. Автономные ЦСАУ имеют большее быстродействие по сравнению с не автономными, у которых бортовая ЦВМ введена в замкнутый контур управления. Так как, бортовые ЦВМ решают широкий круг задач, обычно не связанных с работой данной САУ, то частота выдачи управляющих воздействий в неавтономных системах не может быть большой. Достоинство неавтономных САУ – меньшая стоимость.

В ЦСАУ к квантованию по времени добавляется квантование по уровню.

Рисунок 2.1.3

Обозначим через h размер одной ступени (шаг) квантования по уровню, тогда величина каждого значения решётчатой функции выходной величины цифрового звена

(2.1.1)

где k- целое число ступеней h.

Сигнал в виде решетчатой функции преобразуется в непрерывный сигнал с помощью экстраполятора. Простейшим является экстраполятор нулевого порядка Э₀, представляющий собой фиксатор, удерживающий выходную величину на постоянном уровне в течение периода квантования.

В преобразователях напряжение – код или АЦП на выходе формируется цифровое значение равное целому числу k шагов квантования, содержащихся в аналоговом сигнале.

(2.1.2)

Остаток h либо усекается, либо округляется до целого снизу или сверху значения У_h. При усечении все биты, меньшие, чем самый младший бит, отбрасывают. h- абсолютная ошибка квантования (шум квантования), заключается в следующих пределах:

–при округлении (2.1.3)

– при усечении (2.1.4)

- относительная погрешность.

В цифровых системах дискретное число k кодируется и вся операция по переводу непрерывного числа в цифровое в определённой системе счисления называется кодо-импульсной модуляцией. Чем больше k и чем меньше шаг Т квантования по времени, тем точнее дискретный сигнал воспроизводит аналоговый. Но дискретное число никогда не равно аналоговому.

Точность преобразования (цена младшего разряда) определяется выражением h = A/2^k,

где А – диапазон изменений непрерывной переменной, k – число двоичных разрядов.

При заданной статической ошибке системы  обычно принимают h =  /2. При заданных  и А можно найти требуемое число разрядов.

.

Например, при А=360⁰ и , получаем n>13 двоичных разрядов.

В общем случае непрерывное значение погрешность округления , Y_k - цифровое число, Y - непрерывное число.

Структурная схема цифровой САУ с аналоговым входным сигналом имеет вид:

Д(z) – алгоритм вычисления ЦВМ;

Рисунок 2.1.4 – Структурная схема цифровой САУ с аналоговым входным сигналом

ЦАП и АЦП условно представляют в виде нелинейных, многоуровневых характеристик, отражающих эффект квантования по уровню. Тогда структурная схема ЦСАУ с дискретным входом имеет вид:

Рисунок 2.1.5

При достаточно большом числе двоичных разрядов k квантованием по уровню пренебрегают, а величину рассматривают как шум квантования, и представляют в виде внешнего сигнала действующего на систему.

Если алгоритм вычислений D(z) имеет линейный вид, то такую цифровую систему можно свести к линейной амплитудной импульсной системе и воспользоваться математическим аппаратом линейных ИС.